MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infssuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infssuni 8201
Description: If an infinite set 𝐴 is included in the underlying set of a finite cover 𝐵, then there exists a set of the cover that contains an infinite number of element of 𝐴. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
infssuni ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 𝐵) → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem infssuni
StepHypRef Expression
1 dfral2 2988 . . 3 (∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ ¬ ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)
2 iunfi 8198 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin) → 𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin)
3 iunin2 4550 . . . . . . . . . 10 𝑥𝐵 (𝐴𝑥) = (𝐴 𝑥𝐵 𝑥)
43eleq1i 2689 . . . . . . . . 9 ( 𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴 𝑥𝐵 𝑥) ∈ Fin)
5 uniiun 4539 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 = 𝑥𝐵 𝑥
65eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝐵 𝑥 = 𝐵
76ineq2i 3789 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 𝑥𝐵 𝑥) = (𝐴 𝐵)
87eleq1i 2689 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 𝑥𝐵 𝑥) ∈ Fin ↔ (𝐴 𝐵) ∈ Fin)
9 df-ss 3569 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 𝐵 ↔ (𝐴 𝐵) = 𝐴)
10 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 𝐵) = 𝐴 → ((𝐴 𝐵) ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
11 pm2.24 121 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin))
1210, 11syl6bi 243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 𝐵) = 𝐴 → ((𝐴 𝐵) ∈ Fin → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)))
139, 12sylbi 207 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 𝐵 → ((𝐴 𝐵) ∈ Fin → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)))
1413com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 𝐵) ∈ Fin → (𝐴 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)))
158, 14sylbi 207 . . . . . . . . 9 ((𝐴 𝑥𝐵 𝑥) ∈ Fin → (𝐴 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)))
164, 15sylbi 207 . . . . . . . 8 ( 𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin → (𝐴 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)))
172, 16syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin) → (𝐴 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)))
1817ex 450 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Fin → (∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin → (𝐴 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin))))
1918com24 95 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ∈ Fin → (𝐴 𝐵 → (∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin))))
2019com12 32 . . . 4 𝐴 ∈ Fin → (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 𝐵 → (∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin))))
21203imp 1254 . . 3 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 𝐵) → (∀𝑥𝐵 (𝐴𝑥) ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin))
221, 21syl5bir 233 . 2 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 𝐵) → (¬ ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin))
2322pm2.18d 124 1 ((¬ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 𝐵) → ∃𝑥𝐵 ¬ (𝐴𝑥) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  cin 3554  wss 3555   cuni 4402   ciun 4485  Fincfn 7899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-fin 7903
This theorem is referenced by:  bwth  21123
  Copyright terms: Public domain W3C validator