MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isf34lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isf34lem4 9159
Description: Lemma for isfin3-4 9164. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
Assertion
Ref Expression
isf34lem4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem isf34lem4
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspwuni 4584 . . . . 5 (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 𝑋𝐴)
2 compss.a . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
32isf34lem1 9154 . . . . 5 ((𝐴𝑉 𝑋𝐴) → (𝐹 𝑋) = (𝐴 𝑋))
41, 3sylan2b 492 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹 𝑋) = (𝐴 𝑋))
54adantrr 752 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = (𝐴 𝑋))
6 simplrr 800 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) → ¬ 𝑏 𝑋)
7 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) → 𝑏𝐴)
87ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏𝑎) → 𝑏𝐴)
9 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏𝑎) → ¬ 𝑏𝑎)
108, 9eldifd 3571 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏𝑎) → 𝑏 ∈ (𝐴𝑎))
11 simplrr 800 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏𝑎) → (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)
12 elunii 4414 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ (𝐴𝑎) ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋) → 𝑏 𝑋)
1310, 11, 12syl2anc 692 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏𝑎) → 𝑏 𝑋)
1413ex 450 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) → (¬ 𝑏𝑎𝑏 𝑋))
156, 14mt3d 140 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) → 𝑏𝑎)
1615expr 642 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
1716ralrimiva 2962 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
1817ex 450 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋) → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎)))
19 n0 3913 . . . . . . . . 9 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐𝑋)
20 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴)
2120sselda 3588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴)
2221elpwid 4148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → 𝑐𝐴)
23 dfss4 3842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐𝐴 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) = 𝑐)
2422, 23sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) = 𝑐)
25 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → 𝑐𝑋)
2624, 25eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋)
27 difss 3721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴𝑐) ⊆ 𝐴
28 elpw2g 4797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴𝑉 → ((𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴𝑐) ⊆ 𝐴))
2927, 28mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑉 → (𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴)
3029ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴)
31 difeq2 3706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝐴𝑐) → (𝐴𝑎) = (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)))
3231eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝐴𝑐) → ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋))
33 eleq2 2687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝐴𝑐) → (𝑏𝑎𝑏 ∈ (𝐴𝑐)))
3432, 33imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝐴𝑐) → (((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) ↔ ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐))))
3534rspcv 3295 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐))))
3630, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐))))
3726, 36mpid 44 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏 ∈ (𝐴𝑐)))
38 eldifi 3716 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (𝐴𝑐) → 𝑏𝐴)
3937, 38syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏𝐴))
4039ex 450 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑐𝑋 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏𝐴)))
4140exlimdv 1858 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∃𝑐 𝑐𝑋 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏𝐴)))
4219, 41syl5bi 232 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑋 ≠ ∅ → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏𝐴)))
4342impr 648 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏𝐴))
44 eluni 4412 . . . . . . . . 9 (𝑏 𝑋 ↔ ∃𝑐(𝑏𝑐𝑐𝑋))
4529ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → (𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴)
4626adantlrr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋)
4746adantrl 751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋)
48 elndif 3718 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝑐 → ¬ 𝑏 ∈ (𝐴𝑐))
4948ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐴𝑐))
5047, 49jca 554 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ (𝐴𝑐)))
51 annim 441 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ (𝐴𝑐)) ↔ ¬ ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐)))
5250, 51sylib 208 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → ¬ ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐)))
5334notbid 308 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝐴𝑐) → (¬ ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) ↔ ¬ ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐))))
5453rspcev 3299 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐))) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ¬ ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
5545, 52, 54syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ¬ ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
56 rexnal 2991 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ¬ ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
5755, 56sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
5857ex 450 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑏𝑐𝑐𝑋) → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎)))
5958exlimdv 1858 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (∃𝑐(𝑏𝑐𝑐𝑋) → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎)))
6044, 59syl5bi 232 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝑏 𝑋 → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎)))
6160con2d 129 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → ¬ 𝑏 𝑋))
6243, 61jcad 555 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)))
6318, 62impbid 202 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎)))
64 eldif 3570 . . . . 5 (𝑏 ∈ (𝐴 𝑋) ↔ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋))
65 vex 3193 . . . . . 6 𝑏 ∈ V
6665elintrab 4460 . . . . 5 (𝑏 {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋} ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
6763, 64, 663bitr4g 303 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝑏 ∈ (𝐴 𝑋) ↔ 𝑏 {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋}))
6867eqrdv 2619 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐴 𝑋) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋})
695, 68eqtrd 2655 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋})
702compss 9158 . . 3 (𝐹𝑋) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋}
7170inteqi 4451 . 2 (𝐹𝑋) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋}
7269, 71syl6eqr 2673 1 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  {crab 2912  cdif 3557  wss 3560  c0 3897  𝒫 cpw 4136   cuni 4409   cint 4447  cmpt 4683  cima 5087  cfv 5857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fv 5865
This theorem is referenced by:  isf34lem5  9160  isf34lem6  9162
  Copyright terms: Public domain W3C validator