Theorem isf34lem4 9785

Description: Lemma for isfin3-4 9790. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
compss.a	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
isf34lem4	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘∪ 𝑋) = ∩ (𝐹 “ 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem isf34lem4

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspwuni 5008	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ∪ 𝑋 ⊆ 𝐴)
2		compss.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴 ∖ 𝑥))
3	2	isf34lem1 9780	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∪ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝐹‘∪ 𝑋) = (𝐴 ∖ ∪ 𝑋))
4	1, 3	sylan2b 595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹‘∪ 𝑋) = (𝐴 ∖ ∪ 𝑋))
5	4	adantrr 715	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘∪ 𝑋) = (𝐴 ∖ ∪ 𝑋))
6		simplrr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋)) → ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)
7		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝐴)
8	7	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝐴)
9		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏 ∈ 𝑎) → ¬ 𝑏 ∈ 𝑎)
10	8, 9	eldifd 3935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎))
11		simplrr 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋)
12		elunii 4829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑎) ∧ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋) → 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)
13	10, 11, 12	syl2anc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)
14	13	ex 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋)) → (¬ 𝑏 ∈ 𝑎 → 𝑏 ∈ ∪ 𝑋))
15	6, 14	mt3d 150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋)) → 𝑏 ∈ 𝑎)
16	15	expr 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → ((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎))
17	16	ralrimiva 3182	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)) → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎))
18	17	ex 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋) → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎)))
19		n0 4296	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐 ∈ 𝑋)
20		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴)
21	20	sselda 3955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴)
22	21	elpwid 4536	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → 𝑐 ⊆ 𝐴)
23		dfss4 4223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) = 𝑐)
24	22, 23	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) = 𝑐)
25		simpr 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → 𝑐 ∈ 𝑋)
26	24, 25	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) ∈ 𝑋)
27		difss 4096	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∖ 𝑐) ⊆ 𝐴
28		elpw2g 5233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴 ∖ 𝑐) ⊆ 𝐴))
29	27, 28	mpbiri 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝒫 𝐴)
30	29	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝒫 𝐴)
31		difeq2 4081	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ∖ 𝑐) → (𝐴 ∖ 𝑎) = (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)))
32	31	eleq1d 2897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ∖ 𝑐) → ((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) ∈ 𝑋))
33		eleq2 2901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ∖ 𝑐) → (𝑏 ∈ 𝑎 ↔ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐)))
34	32, 33	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ∖ 𝑐) → (((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) ↔ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))))
35	34	rspcv 3610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝒫 𝐴 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) → ((𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))))
36	30, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) → ((𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))))
37	26, 36	mpid 44	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐)))
38		eldifi 4091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐) → 𝑏 ∈ 𝐴)
39	37, 38	syl6 35	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝐴))
40	39	ex 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑐 ∈ 𝑋 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝐴)))
41	40	exlimdv 1934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∃𝑐 𝑐 ∈ 𝑋 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝐴)))
42	19, 41	syl5bi 244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑋 ≠ ∅ → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝐴)))
43	42	impr 457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) → 𝑏 ∈ 𝐴))
44		eluni 4827	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ∪ 𝑋 ↔ ∃𝑐(𝑏 ∈ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋))
45	29	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝒫 𝐴)
46	26	adantlrr 719	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) ∈ 𝑋)
47	46	adantrl 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → (𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) ∈ 𝑋)
48		elndif 4093	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ 𝑐 → ¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))
49	48	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))
50	47, 49	jcnd 165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ¬ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐)))
51	34	notbid 320	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝐴 ∖ 𝑐) → (¬ ((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) ↔ ¬ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))))
52	51	rspcev 3615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∖ 𝑐) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ ((𝐴 ∖ (𝐴 ∖ 𝑐)) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ (𝐴 ∖ 𝑐))) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ¬ ((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎))
53	45, 50, 52	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ¬ ((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎))
54		rexnal 3238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ¬ ((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎))
55	53, 54	sylib 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋)) → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎))
56	55	ex 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑏 ∈ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎)))
57	56	exlimdv 1934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∃𝑐(𝑏 ∈ 𝑐 ∧ 𝑐 ∈ 𝑋) → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎)))
58	44, 57	syl5bi 244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑏 ∈ ∪ 𝑋 → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎)))
59	58	con2d 136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) → ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋))
60	43, 59	jcad 515	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎) → (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋)))
61	18, 60	impbid 214	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎)))
62		eldif 3934	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑋) ↔ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑏 ∈ ∪ 𝑋))
63		vex 3489	. . . . . 6 ⊢ 𝑏 ∈ V
64	63	elintrab 4874	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ ∩ {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋} ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋 → 𝑏 ∈ 𝑎))
65	61, 62, 64	3bitr4g 316	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝑏 ∈ (𝐴 ∖ ∪ 𝑋) ↔ 𝑏 ∈ ∩ {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋}))
66	65	eqrdv 2819	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐴 ∖ ∪ 𝑋) = ∩ {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋})
67	5, 66	eqtrd 2856	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘∪ 𝑋) = ∩ {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋})
68	2	compss 9784	. . 3 ⊢ (𝐹 “ 𝑋) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋}
69	68	inteqi 4866	. 2 ⊢ ∩ (𝐹 “ 𝑋) = ∩ {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴 ∖ 𝑎) ∈ 𝑋}
70	67, 69	syl6eqr 2874	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹‘∪ 𝑋) = ∩ (𝐹 “ 𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537  ∃wex 1780   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  {crab 3142   ∖ cdif 3921   ⊆ wss 3924  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4525  ∪ cuni 4824  ∩ cint 4862   ↦ cmpt 5132   “ cima 5544  ‘cfv 6341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pr 5316

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-op 4560  df-uni 4825  df-int 4863  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5446  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fv 6349

This theorem is referenced by:  isf34lem5  9786  isf34lem6  9788