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Theorem isf34lem4 9056
Description: Lemma for isfin3-4 9061. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
compss.a 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
Assertion
Ref Expression
isf34lem4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = (𝐹𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem isf34lem4
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sspwuni 4538 . . . . 5 (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴 𝑋𝐴)
2 compss.a . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ↦ (𝐴𝑥))
32isf34lem1 9051 . . . . 5 ((𝐴𝑉 𝑋𝐴) → (𝐹 𝑋) = (𝐴 𝑋))
41, 3sylan2b 490 . . . 4 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝐹 𝑋) = (𝐴 𝑋))
54adantrr 748 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = (𝐴 𝑋))
6 simplrr 796 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) → ¬ 𝑏 𝑋)
7 simprl 789 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) → 𝑏𝐴)
87ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏𝑎) → 𝑏𝐴)
9 simpr 475 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏𝑎) → ¬ 𝑏𝑎)
108, 9eldifd 3547 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏𝑎) → 𝑏 ∈ (𝐴𝑎))
11 simplrr 796 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏𝑎) → (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)
12 elunii 4368 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ (𝐴𝑎) ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋) → 𝑏 𝑋)
1310, 11, 12syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) ∧ ¬ 𝑏𝑎) → 𝑏 𝑋)
1413ex 448 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) → (¬ 𝑏𝑎𝑏 𝑋))
156, 14mt3d 138 . . . . . . . . 9 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋)) → 𝑏𝑎)
1615expr 640 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) → ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
1716ralrimiva 2945 . . . . . . 7 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)) → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
1817ex 448 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋) → ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎)))
19 n0 3886 . . . . . . . . 9 (𝑋 ≠ ∅ ↔ ∃𝑐 𝑐𝑋)
20 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → 𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴)
2120sselda 3564 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → 𝑐 ∈ 𝒫 𝐴)
2221elpwid 4114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → 𝑐𝐴)
23 dfss4 3816 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐𝐴 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) = 𝑐)
2422, 23sylib 206 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) = 𝑐)
25 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → 𝑐𝑋)
2624, 25eqeltrd 2684 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋)
27 difss 3695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴𝑐) ⊆ 𝐴
28 elpw2g 4746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴𝑉 → ((𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝐴𝑐) ⊆ 𝐴))
2927, 28mpbiri 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴𝑉 → (𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴)
3029ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴)
31 difeq2 3680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝐴𝑐) → (𝐴𝑎) = (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)))
3231eleq1d 2668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝐴𝑐) → ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋 ↔ (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋))
33 eleq2 2673 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝐴𝑐) → (𝑏𝑎𝑏 ∈ (𝐴𝑐)))
3432, 33imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝐴𝑐) → (((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) ↔ ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐))))
3534rspcv 3274 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐))))
3630, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐))))
3726, 36mpid 42 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏 ∈ (𝐴𝑐)))
38 eldifi 3690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 ∈ (𝐴𝑐) → 𝑏𝐴)
3937, 38syl6 34 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) ∧ 𝑐𝑋) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏𝐴))
4039ex 448 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑐𝑋 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏𝐴)))
4140exlimdv 1847 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (∃𝑐 𝑐𝑋 → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏𝐴)))
4219, 41syl5bi 230 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴) → (𝑋 ≠ ∅ → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏𝐴)))
4342impr 646 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → 𝑏𝐴))
44 eluni 4366 . . . . . . . . 9 (𝑏 𝑋 ↔ ∃𝑐(𝑏𝑐𝑐𝑋))
4529ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → (𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴)
4626adantlrr 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ 𝑐𝑋) → (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋)
4746adantrl 747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → (𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋)
48 elndif 3692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏𝑐 → ¬ 𝑏 ∈ (𝐴𝑐))
4948ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → ¬ 𝑏 ∈ (𝐴𝑐))
5047, 49jca 552 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ (𝐴𝑐)))
51 annim 439 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋 ∧ ¬ 𝑏 ∈ (𝐴𝑐)) ↔ ¬ ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐)))
5250, 51sylib 206 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → ¬ ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐)))
5334notbid 306 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝐴𝑐) → (¬ ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) ↔ ¬ ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐))))
5453rspcev 3278 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝑐) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ¬ ((𝐴 ∖ (𝐴𝑐)) ∈ 𝑋𝑏 ∈ (𝐴𝑐))) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ¬ ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
5545, 52, 54syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ¬ ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
56 rexnal 2974 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ¬ ((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
5755, 56sylib 206 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) ∧ (𝑏𝑐𝑐𝑋)) → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
5857ex 448 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑏𝑐𝑐𝑋) → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎)))
5958exlimdv 1847 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (∃𝑐(𝑏𝑐𝑐𝑋) → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎)))
6044, 59syl5bi 230 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝑏 𝑋 → ¬ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎)))
6160con2d 127 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → ¬ 𝑏 𝑋))
6243, 61jcad 553 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎) → (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋)))
6318, 62impbid 200 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → ((𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋) ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎)))
64 eldif 3546 . . . . 5 (𝑏 ∈ (𝐴 𝑋) ↔ (𝑏𝐴 ∧ ¬ 𝑏 𝑋))
65 vex 3172 . . . . . 6 𝑏 ∈ V
6665elintrab 4414 . . . . 5 (𝑏 {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋} ↔ ∀𝑎 ∈ 𝒫 𝐴((𝐴𝑎) ∈ 𝑋𝑏𝑎))
6763, 64, 663bitr4g 301 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝑏 ∈ (𝐴 𝑋) ↔ 𝑏 {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋}))
6867eqrdv 2604 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐴 𝑋) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋})
695, 68eqtrd 2640 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋})
702compss 9055 . . 3 (𝐹𝑋) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋}
7170inteqi 4405 . 2 (𝐹𝑋) = {𝑎 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝐴𝑎) ∈ 𝑋}
7269, 71syl6eqr 2658 1 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑋 ⊆ 𝒫 𝐴𝑋 ≠ ∅)) → (𝐹 𝑋) = (𝐹𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1976  wne 2776  wral 2892  wrex 2893  {crab 2896  cdif 3533  wss 3536  c0 3870  𝒫 cpw 4104   cuni 4363   cint 4401  cmpt 4634  cima 5028  cfv 5787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pr 4825
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-ral 2897  df-rex 2898  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fv 5795
This theorem is referenced by:  isf34lem5  9057  isf34lem6  9059
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