Theorem ordgt0ge1 7522

Description: Two ways to express that an ordinal class is positive. (Contributed by NM, 21-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
ordgt0ge1	⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1𝑜 ⊆ 𝐴))

Proof of Theorem ordgt0ge1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elon 5737	. . 3 ⊢ ∅ ∈ On
2		ordelsuc 6967	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ On ∧ Ord 𝐴) → (∅ ∈ 𝐴 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐴))
3	1, 2	mpan 705	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐴))
4		df-1o 7505	. . 3 ⊢ 1𝑜 = suc ∅
5	4	sseq1i 3608	. 2 ⊢ (1𝑜 ⊆ 𝐴 ↔ suc ∅ ⊆ 𝐴)
6	3, 5	syl6bbr 278	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (∅ ∈ 𝐴 ↔ 1𝑜 ⊆ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∈ wcel 1987   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  Ord word 5681  Oncon0 5682  suc csuc 5684  1_𝑜c1o 7498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867  ax-un 6902

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-ord 5685  df-on 5686  df-suc 5688  df-1o 7505

This theorem is referenced by:  ordge1n0  7523  oe0m1  7546  omword1  7598  omword2  7599  omlimcl  7603  oen0  7611  oewordi  7616