MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordssun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordssun 5786
Description: Property of a subclass of the maximum (i.e. union) of two ordinals. (Contributed by NM, 28-Nov-2003.)
Assertion
Ref Expression
ordssun ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴 ⊆ (𝐵𝐶) ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐶)))

Proof of Theorem ordssun
StepHypRef Expression
1 ordtri2or2 5782 . . 3 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐵𝐶𝐶𝐵))
2 ssequn1 3761 . . . . . 6 (𝐵𝐶 ↔ (𝐵𝐶) = 𝐶)
3 sseq2 3606 . . . . . 6 ((𝐵𝐶) = 𝐶 → (𝐴 ⊆ (𝐵𝐶) ↔ 𝐴𝐶))
42, 3sylbi 207 . . . . 5 (𝐵𝐶 → (𝐴 ⊆ (𝐵𝐶) ↔ 𝐴𝐶))
5 olc 399 . . . . 5 (𝐴𝐶 → (𝐴𝐵𝐴𝐶))
64, 5syl6bi 243 . . . 4 (𝐵𝐶 → (𝐴 ⊆ (𝐵𝐶) → (𝐴𝐵𝐴𝐶)))
7 ssequn2 3764 . . . . . 6 (𝐶𝐵 ↔ (𝐵𝐶) = 𝐵)
8 sseq2 3606 . . . . . 6 ((𝐵𝐶) = 𝐵 → (𝐴 ⊆ (𝐵𝐶) ↔ 𝐴𝐵))
97, 8sylbi 207 . . . . 5 (𝐶𝐵 → (𝐴 ⊆ (𝐵𝐶) ↔ 𝐴𝐵))
10 orc 400 . . . . 5 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵𝐴𝐶))
119, 10syl6bi 243 . . . 4 (𝐶𝐵 → (𝐴 ⊆ (𝐵𝐶) → (𝐴𝐵𝐴𝐶)))
126, 11jaoi 394 . . 3 ((𝐵𝐶𝐶𝐵) → (𝐴 ⊆ (𝐵𝐶) → (𝐴𝐵𝐴𝐶)))
131, 12syl 17 . 2 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴 ⊆ (𝐵𝐶) → (𝐴𝐵𝐴𝐶)))
14 ssun 3770 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐶) → 𝐴 ⊆ (𝐵𝐶))
1513, 14impbid1 215 1 ((Ord 𝐵 ∧ Ord 𝐶) → (𝐴 ⊆ (𝐵𝐶) ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  cun 3553  wss 3555  Ord word 5681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-ord 5685
This theorem is referenced by:  ordsucun  6972
  Copyright terms: Public domain W3C validator