Theorem addlec 6209

Description: For nonempty sets, cardinal sum always increases cardinal less than or equal. Theorem XI.2.19 of [Rosser] p. 376. (Contributed by SF, 11-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
addlec	|- ((M e. V /\ N e. W /\ (M +o N) =/= (/)) -> M <_c (M +o N))

Proof of Theorem addlec

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eladdc 4399	. . . . . . 7 |- (z e. (M +o N) <-> E.x e. M E.y e. N ((x i^i y) = (/) /\ z = (x u. y)))
2		ssun1 3427	. . . . . . . . . . 11 |- x C_ (x u. y)
3		sseq2 3294	. . . . . . . . . . 11 |- (z = (x u. y) -> (x C_ z <-> x C_ (x u. y)))
4	2, 3	mpbiri 224	. . . . . . . . . 10 |- (z = (x u. y) -> x C_ z)
5	4	adantl 452	. . . . . . . . 9 |- (((x i^i y) = (/) /\ z = (x u. y)) -> x C_ z)
6	5	rexlimivw 2735	. . . . . . . 8 |- (E.y e. N ((x i^i y) = (/) /\ z = (x u. y)) -> x C_ z)
7	6	reximi 2722	. . . . . . 7 |- (E.x e. M E.y e. N ((x i^i y) = (/) /\ z = (x u. y)) -> E.x e. M x C_ z)
8	1, 7	sylbi 187	. . . . . 6 |- (z e. (M +o N) -> E.x e. M x C_ z)
9	8	ancli 534	. . . . 5 |- (z e. (M +o N) -> (z e. (M +o N) /\ E.x e. M x C_ z))
10	9	eximi 1576	. . . 4 |- (E.z z e. (M +o N) -> E.z(z e. (M +o N) /\ E.x e. M x C_ z))
11		n0 3560	. . . 4 |- ((M +o N) =/= (/) <-> E.z z e. (M +o N))
12		rexcom 2773	. . . . 5 |- (E.x e. M E.z e. (M +o N)x C_ z <-> E.z e. (M +o N)E.x e. M x C_ z)
13		df-rex 2621	. . . . 5 |- (E.z e. (M +o N)E.x e. M x C_ z <-> E.z(z e. (M +o N) /\ E.x e. M x C_ z))
14	12, 13	bitri 240	. . . 4 |- (E.x e. M E.z e. (M +o N)x C_ z <-> E.z(z e. (M +o N) /\ E.x e. M x C_ z))
15	10, 11, 14	3imtr4i 257	. . 3 |- ((M +o N) =/= (/) -> E.x e. M E.z e. (M +o N)x C_ z)
16	15	3ad2ant3 978	. 2 |- ((M e. V /\ N e. W /\ (M +o N) =/= (/)) -> E.x e. M E.z e. (M +o N)x C_ z)
17		addcexg 4394	. . . 4 |- ((M e. V /\ N e. W) -> (M +o N) e. _V)
18		brlecg 6113	. . . 4 |- ((M e. V /\ (M +o N) e. _V) -> (M <_c (M +o N) <-> E.x e. M E.z e. (M +o N)x C_ z))
19	17, 18	syldan 456	. . 3 |- ((M e. V /\ N e. W) -> (M <_c (M +o N) <-> E.x e. M E.z e. (M +o N)x C_ z))
20	19	3adant3 975	. 2 |- ((M e. V /\ N e. W /\ (M +o N) =/= (/)) -> (M <_c (M +o N) <-> E.x e. M E.z e. (M +o N)x C_ z))
21	16, 20	mpbird 223	1 |- ((M e. V /\ N e. W /\ (M +o N) =/= (/)) -> M <_c (M +o N))

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 176   /\ wa 358   /\ w3a 934  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710   =/= wne 2517  E.wrex 2616  _Vcvv 2860   u. cun 3208   i^i cin 3209   C_ wss 3258  (/)c0 3551   +o cplc 4376   class class class wbr 4640   <__c clec 6090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-lec 6100

This theorem is referenced by:  addlecncs  6210