Theorem dmsnopg 5067

Description: The domain of a singleton of an ordered pair is the singleton of the first member. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dmsnopg	|- (B e. V -> dom {<.A, B>.} = {A})

Proof of Theorem dmsnopg

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opeq2 4580	. . . . 5 |- (y = B -> <.A, y>. = <.A, B>.)
2	1	sneqd 3747	. . . 4 |- (y = B -> {<.A, y>.} = {<.A, B>.})
3	2	dmeqd 4910	. . 3 |- (y = B -> dom {<.A, y>.} = dom {<.A, B>.})
4	3	eqeq1d 2361	. 2 |- (y = B -> (dom {<.A, y>.} = {A} <-> dom {<.A, B>.} = {A}))
5		df-br 4641	. . . . . . 7 |- (x{<.A, y>.}z <-> <.x, z>. e. {<.A, y>.})
6		vex 2863	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
7		vex 2863	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
8	6, 7	opex 4589	. . . . . . . 8 |- <.x, z>. e. _V
9	8	elsnc 3757	. . . . . . 7 |- (<.x, z>. e. {<.A, y>.} <-> <.x, z>. = <.A, y>.)
10		opth 4603	. . . . . . . 8 |- (<.x, z>. = <.A, y>. <-> (x = A /\ z = y))
11		ancom 437	. . . . . . . 8 |- ((x = A /\ z = y) <-> (z = y /\ x = A))
12	10, 11	bitri 240	. . . . . . 7 |- (<.x, z>. = <.A, y>. <-> (z = y /\ x = A))
13	5, 9, 12	3bitri 262	. . . . . 6 |- (x{<.A, y>.}z <-> (z = y /\ x = A))
14	13	exbii 1582	. . . . 5 |- (E.z x{<.A, y>.}z <-> E.z(z = y /\ x = A))
15		vex 2863	. . . . . 6 |- y e. _V
16		biidd 228	. . . . . 6 |- (z = y -> (x = A <-> x = A))
17	15, 16	ceqsexv 2895	. . . . 5 |- (E.z(z = y /\ x = A) <-> x = A)
18	14, 17	bitri 240	. . . 4 |- (E.z x{<.A, y>.}z <-> x = A)
19		eldm 4899	. . . 4 |- (x e. dom {<.A, y>.} <-> E.z x{<.A, y>.}z)
20		elsn 3749	. . . 4 |- (x e. {A} <-> x = A)
21	18, 19, 20	3bitr4i 268	. . 3 |- (x e. dom {<.A, y>.} <-> x e. {A})
22	21	eqriv 2350	. 2 |- dom {<.A, y>.} = {A}
23	4, 22	vtoclg 2915	1 |- (B e. V -> dom {<.A, B>.} = {A})

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 358  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  {csn 3738  <.cop 4562   class class class wbr 4640  dom cdm 4773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-ima 4728  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788

This theorem is referenced by:  dmsnopss  5068  dmpropg  5069  dmsnop  5070  funprg  5150  funprgOLD  5151