Theorem opeq2 4580

Description: Equality theorem for ordered pairs. (Contributed by SF, 2-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opeq2	|- (A = B -> <.C, A>. = <.C, B>.)

Proof of Theorem opeq2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imakeq2 4226	. . 3 |- (A = B -> ( ∼ (( Ins2k Sk (+) Ins3k ((`'kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) i^i ( Nn X.k _V)) u. ( _I_kk i^i ( ∼ Nn X.k _V))) o.k Sk ) u. ({{0c}} X.k _V)))"k~P1 ~P1 1c)"kA) = ( ∼ (( Ins2k Sk (+) Ins3k ((`'kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) i^i ( Nn X.k _V)) u. ( _I_kk i^i ( ∼ Nn X.k _V))) o.k Sk ) u. ({{0c}} X.k _V)))"k~P1 ~P1 1c)"kB))
2	1	uneq2d 3419	. 2 |- (A = B -> ((Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) i^i ( Nn X.k _V)) u. ( _I_kk i^i ( ∼ Nn X.k _V)))"kC) u. ( ∼ (( Ins2k Sk (+) Ins3k ((`'kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) i^i ( Nn X.k _V)) u. ( _I_kk i^i ( ∼ Nn X.k _V))) o.k Sk ) u. ({{0c}} X.k _V)))"k~P1 ~P1 1c)"kA)) = ((Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) i^i ( Nn X.k _V)) u. ( _I_kk i^i ( ∼ Nn X.k _V)))"kC) u. ( ∼ (( Ins2k Sk (+) Ins3k ((`'kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) i^i ( Nn X.k _V)) u. ( _I_kk i^i ( ∼ Nn X.k _V))) o.k Sk ) u. ({{0c}} X.k _V)))"k~P1 ~P1 1c)"kB)))
3		dfop2 4576	. 2 |- <.C, A>. = ((Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) i^i ( Nn X.k _V)) u. ( _I_kk i^i ( ∼ Nn X.k _V)))"kC) u. ( ∼ (( Ins2k Sk (+) Ins3k ((`'kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) i^i ( Nn X.k _V)) u. ( _I_kk i^i ( ∼ Nn X.k _V))) o.k Sk ) u. ({{0c}} X.k _V)))"k~P1 ~P1 1c)"kA))
4		dfop2 4576	. 2 |- <.C, B>. = ((Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) i^i ( Nn X.k _V)) u. ( _I_kk i^i ( ∼ Nn X.k _V)))"kC) u. ( ∼ (( Ins2k Sk (+) Ins3k ((`'kImagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk i^i Ins2k Sk )"k~P1 ~P1 1c) \ (( Ins2k Ins2k Sk (+) ( Ins2k Ins3k Sk u. Ins3k SIk SIk Sk ))"k~P1 ~P1 ~P1 ~P1 1c))"k~P1 ~P1 1c) i^i ( Nn X.k _V)) u. ( _I_kk i^i ( ∼ Nn X.k _V))) o.k Sk ) u. ({{0c}} X.k _V)))"k~P1 ~P1 1c)"kB))
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2410	1 |- (A = B -> <.C, A>. = <.C, B>.)

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1642  _Vcvv 2860   ∼ ccompl 3206   \ cdif 3207   u. cun 3208   i^i cin 3209   (+) csymdif 3210  {csn 3738  1_cc1c 4135  ~P₁ cpw1 4136   X._k cxpk 4175  `'_kccnvk 4176   Ins2_k cins2k 4177   Ins3_k cins3k 4178  "_kcimak 4180   o._k ccomk 4181   SI_k csik 4182  Image_kcimagek 4183   S_k cssetk 4184   _I_k_k cidk 4185   Nn cnnc 4374  0_cc0c 4375  <.cop 4562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-phi 4566  df-op 4567

This theorem is referenced by:  opeq12  4581  opeq2i  4583  opeq2d  4586  eqvinop  4607  cbvopab2  4634  cbvopab2v  4637  breq2  4644  opelopabsb  4698  br1stg  4731  elswap  4741  dfima2  4746  dfco1  4749  dfsi2  4752  dfid3  4769  ssrel  4845  br2nd  4860  brswap2  4861  opabid2  4862  opeldm  4911  iss  5001  dmsnopg  5067  elxp4  5109  dfxp2  5114  nfunv  5139  fnunsn  5191  iunfopab  5205  f1osng  5324  fsn  5433  fsng  5434  fvsng  5447  xpnedisj  5514  oveq2  5532  cbvoprab2  5569  oprabid2  5647  trtxp  5782  brtxp  5784  oqelins4  5795  txpcofun  5804  addcfnex  5825  qrpprod  5837  fundmen  6044  xpassen  6058  addccan2nclem1  6264  freceq12  6312