Theorem elxp2 4803

Description: Membership in a cross product. (Contributed by NM, 23-Feb-2004.)

Assertion

Ref	Expression
elxp2	|- (A e. (B X. C) <-> E.x e. B E.y e. C A = <.x, y>.)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y

Proof of Theorem elxp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rex 2621	. . . 4 |- (E.y e. C (x e. B /\ A = <.x, y>.) <-> E.y(y e. C /\ (x e. B /\ A = <.x, y>.)))
2		r19.42v 2766	. . . 4 |- (E.y e. C (x e. B /\ A = <.x, y>.) <-> (x e. B /\ E.y e. C A = <.x, y>.))
3		an13 774	. . . . 5 |- ((y e. C /\ (x e. B /\ A = <.x, y>.)) <-> (A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
4	3	exbii 1582	. . . 4 |- (E.y(y e. C /\ (x e. B /\ A = <.x, y>.)) <-> E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
5	1, 2, 4	3bitr3i 266	. . 3 |- ((x e. B /\ E.y e. C A = <.x, y>.) <-> E.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
6	5	exbii 1582	. 2 |- (E.x(x e. B /\ E.y e. C A = <.x, y>.) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
7		df-rex 2621	. 2 |- (E.x e. B E.y e. C A = <.x, y>. <-> E.x(x e. B /\ E.y e. C A = <.x, y>.))
8		elxp 4802	. 2 |- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(A = <.x, y>. /\ (x e. B /\ y e. C)))
9	6, 7, 8	3bitr4ri 269	1 |- (A e. (B X. C) <-> E.x e. B E.y e. C A = <.x, y>.)

Syntax hints:   <-> wb 176   /\ wa 358  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  E.wrex 2616  <.cop 4562   X. cxp 4771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-phi 4566  df-op 4567  df-opab 4624  df-xp 4785

This theorem is referenced by:  xpiundi  4818  xpiundir  4819  dfxp2  5114  xpnedisj  5514  1st2nd2  5517  crossex  5851  xpassen  6058  addccan2nclem1  6264