Theorem funssres 5145

Description: The restriction of a function to the domain of a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 15-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
funssres	|- ((Fun F /\ G C_ F) -> (F |` dom G) = G)

Proof of Theorem funssres

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3268	. . . . . 6 |- (G C_ F -> (<.x, y>. e. G -> <.x, y>. e. F))
2	1	adantl 452	. . . . 5 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> (<.x, y>. e. G -> <.x, y>. e. F))
3		opeldm 4911	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. G -> x e. dom G)
4	3	a1i 10	. . . . 5 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> (<.x, y>. e. G -> x e. dom G))
5	2, 4	jcad 519	. . . 4 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> (<.x, y>. e. G -> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G)))
6		funeu2 5133	. . . . . . . . . . 11 |- ((Fun F /\ <.x, y>. e. F) -> E!y<.x, y>. e. F)
7		eldm2 4900	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. dom G <-> E.y<.x, y>. e. G)
8	1	ancrd 537	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (G C_ F -> (<.x, y>. e. G -> (<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)))
9	8	eximdv 1622	. . . . . . . . . . . . 13 |- (G C_ F -> (E.y<.x, y>. e. G -> E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)))
10	7, 9	syl5bi 208	. . . . . . . . . . . 12 |- (G C_ F -> (x e. dom G -> E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)))
11	10	imp 418	. . . . . . . . . . 11 |- ((G C_ F /\ x e. dom G) -> E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G))
12		eupick 2267	. . . . . . . . . . 11 |- ((E!y<.x, y>. e. F /\ E.y(<.x, y>. e. F /\ <.x, y>. e. G)) -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G))
13	6, 11, 12	syl2an 463	. . . . . . . . . 10 |- (((Fun F /\ <.x, y>. e. F) /\ (G C_ F /\ x e. dom G)) -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G))
14	13	exp43 595	. . . . . . . . 9 |- (Fun F -> (<.x, y>. e. F -> (G C_ F -> (x e. dom G -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G)))))
15	14	com23 72	. . . . . . . 8 |- (Fun F -> (G C_ F -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G)))))
16	15	imp 418	. . . . . . 7 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> (<.x, y>. e. F -> <.x, y>. e. G))))
17	16	com34 77	. . . . . 6 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> (<.x, y>. e. F -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> <.x, y>. e. G))))
18	17	pm2.43d 44	. . . . 5 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> (<.x, y>. e. F -> (x e. dom G -> <.x, y>. e. G)))
19	18	imp3a 420	. . . 4 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> ((<.x, y>. e. F /\ x e. dom G) -> <.x, y>. e. G))
20	5, 19	impbid 183	. . 3 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> (<.x, y>. e. G <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G)))
21		opelres 4951	. . 3 |- (<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. dom G))
22	20, 21	syl6rbbr 255	. 2 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> (<.x, y>. e. (F |` dom G) <-> <.x, y>. e. G))
23	22	eqrelrdv 4853	1 |- ((Fun F /\ G C_ F) -> (F |` dom G) = G)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 358  E.wex 1541   = wceq 1642   e. wcel 1710  E!weu 2204   C_ wss 3258  <.cop 4562  dom cdm 4773   |` cres 4775  Fun wfun 4776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-reu 2622  df-rmo 2623  df-rab 2624  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-pss 3262  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-iota 4340  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380  df-fin 4381  df-lefin 4441  df-ltfin 4442  df-ncfin 4443  df-tfin 4444  df-evenfin 4445  df-oddfin 4446  df-sfin 4447  df-spfin 4448  df-phi 4566  df-op 4567  df-proj1 4568  df-proj2 4569  df-opab 4624  df-br 4641  df-co 4727  df-ima 4728  df-id 4768  df-xp 4785  df-cnv 4786  df-rn 4787  df-dm 4788  df-res 4789  df-fun 4790

This theorem is referenced by:  fun2ssres  5146  funcnvres  5166  funssfv  5344  oprssov  5604