NFE Home New Foundations Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  funssres GIF version

Theorem funssres 5144
Description: The restriction of a function to the domain of a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 15-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
funssres ((Fun F G F) → (F dom G) = G)

Proof of Theorem funssres
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 3267 . . . . . 6 (G F → (x, y Gx, y F))
21adantl 452 . . . . 5 ((Fun F G F) → (x, y Gx, y F))
3 opeldm 4910 . . . . . 6 (x, y Gx dom G)
43a1i 10 . . . . 5 ((Fun F G F) → (x, y Gx dom G))
52, 4jcad 519 . . . 4 ((Fun F G F) → (x, y G → (x, y F x dom G)))
6 funeu2 5132 . . . . . . . . . . 11 ((Fun F x, y F) → ∃!yx, y F)
7 eldm2 4899 . . . . . . . . . . . . 13 (x dom Gyx, y G)
81ancrd 537 . . . . . . . . . . . . . 14 (G F → (x, y G → (x, y F x, y G)))
98eximdv 1622 . . . . . . . . . . . . 13 (G F → (yx, y Gy(x, y F x, y G)))
107, 9syl5bi 208 . . . . . . . . . . . 12 (G F → (x dom Gy(x, y F x, y G)))
1110imp 418 . . . . . . . . . . 11 ((G F x dom G) → y(x, y F x, y G))
12 eupick 2267 . . . . . . . . . . 11 ((∃!yx, y F y(x, y F x, y G)) → (x, y Fx, y G))
136, 11, 12syl2an 463 . . . . . . . . . 10 (((Fun F x, y F) (G F x dom G)) → (x, y Fx, y G))
1413exp43 595 . . . . . . . . 9 (Fun F → (x, y F → (G F → (x dom G → (x, y Fx, y G)))))
1514com23 72 . . . . . . . 8 (Fun F → (G F → (x, y F → (x dom G → (x, y Fx, y G)))))
1615imp 418 . . . . . . 7 ((Fun F G F) → (x, y F → (x dom G → (x, y Fx, y G))))
1716com34 77 . . . . . 6 ((Fun F G F) → (x, y F → (x, y F → (x dom Gx, y G))))
1817pm2.43d 44 . . . . 5 ((Fun F G F) → (x, y F → (x dom Gx, y G)))
1918imp3a 420 . . . 4 ((Fun F G F) → ((x, y F x dom G) → x, y G))
205, 19impbid 183 . . 3 ((Fun F G F) → (x, y G ↔ (x, y F x dom G)))
21 opelres 4950 . . 3 (x, y (F dom G) ↔ (x, y F x dom G))
2220, 21syl6rbbr 255 . 2 ((Fun F G F) → (x, y (F dom G) ↔ x, y G))
2322eqrelrdv 4852 1 ((Fun F G F) → (F dom G) = G)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   wa 358  wex 1541   = wceq 1642   wcel 1710  ∃!weu 2204   wss 3257  cop 4561  dom cdm 4772   cres 4774  Fun wfun 4775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-br 4640  df-co 4726  df-ima 4727  df-id 4767  df-xp 4784  df-cnv 4785  df-rn 4786  df-dm 4787  df-res 4788  df-fun 4789
This theorem is referenced by:  fun2ssres  5145  funcnvres  5165  funssfv  5343  oprssov  5603
  Copyright terms: Public domain W3C validator