New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  opeliunxp Unicode version

Theorem opeliunxp 4820
 Description: Membership in a union of Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
opeliunxp

Proof of Theorem opeliunxp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2867 . . 3
2 opexb 4603 . . . 4
32simprbi 450 . . 3
41, 3syl 15 . 2
5 elex 2867 . . 3
7 vex 2862 . . . . 5
8 opexg 4587 . . . . 5
97, 8mpan 651 . . . 4
10 df-rex 2620 . . . . . . 7
11 nfv 1619 . . . . . . . 8
12 nfs1v 2106 . . . . . . . . 9
13 nfcv 2489 . . . . . . . . . . 11
14 nfcsb1v 3168 . . . . . . . . . . 11
1513, 14nfxp 4810 . . . . . . . . . 10
1615nfcri 2483 . . . . . . . . 9
1712, 16nfan 1824 . . . . . . . 8
18 sbequ12 1919 . . . . . . . . 9
19 sneq 3744 . . . . . . . . . . 11
20 csbeq1a 3144 . . . . . . . . . . 11
2119, 20xpeq12d 4809 . . . . . . . . . 10
2221eleq2d 2420 . . . . . . . . 9
2318, 22anbi12d 691 . . . . . . . 8
2411, 17, 23cbvex 1985 . . . . . . 7
2510, 24bitri 240 . . . . . 6
26 eleq1 2413 . . . . . . . 8
2726anbi2d 684 . . . . . . 7
2827exbidv 1626 . . . . . 6
2925, 28syl5bb 248 . . . . 5
30 df-iun 3971 . . . . 5
3129, 30elab2g 2987 . . . 4
329, 31syl 15 . . 3
33 opelxp 4811 . . . . . . 7
3433anbi2i 675 . . . . . 6
35 an12 772 . . . . . 6
36 elsn 3748 . . . . . . . 8
37 equcom 1680 . . . . . . . 8
3836, 37bitri 240 . . . . . . 7
3938anbi1i 676 . . . . . 6
4034, 35, 393bitri 262 . . . . 5
4140exbii 1582 . . . 4
42 sbequ12r 1920 . . . . . 6
4320equcoms 1681 . . . . . . . 8
4443eqcomd 2358 . . . . . . 7
4544eleq2d 2420 . . . . . 6
4642, 45anbi12d 691 . . . . 5
477, 46ceqsexv 2894 . . . 4
4841, 47bitri 240 . . 3
4932, 48syl6bb 252 . 2
504, 6, 49pm5.21nii 342 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 176   wa 358  wex 1541   wceq 1642  wsb 1648   wcel 1710  wrex 2615  cvv 2859  csb 3136  csn 3737  ciun 3969  cop 4561   cxp 4770 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-xp 4784 This theorem is referenced by:  eliunxp  4821  opeliunxp2  4822
 Copyright terms: Public domain W3C validator