Theorem opeliunxp 4820

Description: Membership in a union of Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
opeliunxp	|- (<.x, C>. e. U_x e. A ({x} X. B) <-> (x e. A /\ C e. B))

Proof of Theorem opeliunxp

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2867	. . 3 |- (<.x, C>. e. U_x e. A ({x} X. B) -> <.x, C>. e. _V)
2		opexb 4603	. . . 4 |- (<.x, C>. e. _V <-> (x e. _V /\ C e. _V))
3	2	simprbi 450	. . 3 |- (<.x, C>. e. _V -> C e. _V)
4	1, 3	syl 15	. 2 |- (<.x, C>. e. U_x e. A ({x} X. B) -> C e. _V)
5		elex 2867	. . 3 |- (C e. B -> C e. _V)
6	5	adantl 452	. 2 |- ((x e. A /\ C e. B) -> C e. _V)
7		vex 2862	. . . . 5 |- x e. _V
8		opexg 4587	. . . . 5 |- ((x e. _V /\ C e. _V) -> <.x, C>. e. _V)
9	7, 8	mpan 651	. . . 4 |- (C e. _V -> <.x, C>. e. _V)
10		df-rex 2620	. . . . . . 7 |- (E.x e. A y e. ({x} X. B) <-> E.x(x e. A /\ y e. ({x} X. B)))
11		nfv 1619	. . . . . . . 8 |- F/z(x e. A /\ y e. ({x} X. B))
12		nfs1v 2106	. . . . . . . . 9 |- F/x[z / x]x e. A
13		nfcv 2489	. . . . . . . . . . 11 |- F/_x{z}
14		nfcsb1v 3168	. . . . . . . . . . 11 |- F/_x[_z / x]_B
15	13, 14	nfxp 4810	. . . . . . . . . 10 |- F/_x({z} X. [_z / x]_B)
16	15	nfcri 2483	. . . . . . . . 9 |- F/x y e. ({z} X. [_z / x]_B)
17	12, 16	nfan 1824	. . . . . . . 8 |- F/x([z / x]x e. A /\ y e. ({z} X. [_z / x]_B))
18		sbequ12 1919	. . . . . . . . 9 |- (x = z -> (x e. A <-> [z / x]x e. A))
19		sneq 3744	. . . . . . . . . . 11 |- (x = z -> {x} = {z})
20		csbeq1a 3144	. . . . . . . . . . 11 |- (x = z -> B = [_z / x]_B)
21	19, 20	xpeq12d 4809	. . . . . . . . . 10 |- (x = z -> ({x} X. B) = ({z} X. [_z / x]_B))
22	21	eleq2d 2420	. . . . . . . . 9 |- (x = z -> (y e. ({x} X. B) <-> y e. ({z} X. [_z / x]_B)))
23	18, 22	anbi12d 691	. . . . . . . 8 |- (x = z -> ((x e. A /\ y e. ({x} X. B)) <-> ([z / x]x e. A /\ y e. ({z} X. [_z / x]_B))))
24	11, 17, 23	cbvex 1985	. . . . . . 7 |- (E.x(x e. A /\ y e. ({x} X. B)) <-> E.z([z / x]x e. A /\ y e. ({z} X. [_z / x]_B)))
25	10, 24	bitri 240	. . . . . 6 |- (E.x e. A y e. ({x} X. B) <-> E.z([z / x]x e. A /\ y e. ({z} X. [_z / x]_B)))
26		eleq1 2413	. . . . . . . 8 |- (y = <.x, C>. -> (y e. ({z} X. [_z / x]_B) <-> <.x, C>. e. ({z} X. [_z / x]_B)))
27	26	anbi2d 684	. . . . . . 7 |- (y = <.x, C>. -> (([z / x]x e. A /\ y e. ({z} X. [_z / x]_B)) <-> ([z / x]x e. A /\ <.x, C>. e. ({z} X. [_z / x]_B))))
28	27	exbidv 1626	. . . . . 6 |- (y = <.x, C>. -> (E.z([z / x]x e. A /\ y e. ({z} X. [_z / x]_B)) <-> E.z([z / x]x e. A /\ <.x, C>. e. ({z} X. [_z / x]_B))))
29	25, 28	syl5bb 248	. . . . 5 |- (y = <.x, C>. -> (E.x e. A y e. ({x} X. B) <-> E.z([z / x]x e. A /\ <.x, C>. e. ({z} X. [_z / x]_B))))
30		df-iun 3971	. . . . 5 |- U_x e. A ({x} X. B) = {y | E.x e. A y e. ({x} X. B)}
31	29, 30	elab2g 2987	. . . 4 |- (<.x, C>. e. _V -> (<.x, C>. e. U_x e. A ({x} X. B) <-> E.z([z / x]x e. A /\ <.x, C>. e. ({z} X. [_z / x]_B))))
32	9, 31	syl 15	. . 3 |- (C e. _V -> (<.x, C>. e. U_x e. A ({x} X. B) <-> E.z([z / x]x e. A /\ <.x, C>. e. ({z} X. [_z / x]_B))))
33		opelxp 4811	. . . . . . 7 |- (<.x, C>. e. ({z} X. [_z / x]_B) <-> (x e. {z} /\ C e. [_z / x]_B))
34	33	anbi2i 675	. . . . . 6 |- (([z / x]x e. A /\ <.x, C>. e. ({z} X. [_z / x]_B)) <-> ([z / x]x e. A /\ (x e. {z} /\ C e. [_z / x]_B)))
35		an12 772	. . . . . 6 |- (([z / x]x e. A /\ (x e. {z} /\ C e. [_z / x]_B)) <-> (x e. {z} /\ ([z / x]x e. A /\ C e. [_z / x]_B)))
36		elsn 3748	. . . . . . . 8 |- (x e. {z} <-> x = z)
37		equcom 1680	. . . . . . . 8 |- (x = z <-> z = x)
38	36, 37	bitri 240	. . . . . . 7 |- (x e. {z} <-> z = x)
39	38	anbi1i 676	. . . . . 6 |- ((x e. {z} /\ ([z / x]x e. A /\ C e. [_z / x]_B)) <-> (z = x /\ ([z / x]x e. A /\ C e. [_z / x]_B)))
40	34, 35, 39	3bitri 262	. . . . 5 |- (([z / x]x e. A /\ <.x, C>. e. ({z} X. [_z / x]_B)) <-> (z = x /\ ([z / x]x e. A /\ C e. [_z / x]_B)))
41	40	exbii 1582	. . . 4 |- (E.z([z / x]x e. A /\ <.x, C>. e. ({z} X. [_z / x]_B)) <-> E.z(z = x /\ ([z / x]x e. A /\ C e. [_z / x]_B)))
42		sbequ12r 1920	. . . . . 6 |- (z = x -> ([z / x]x e. A <-> x e. A))
43	20	equcoms 1681	. . . . . . . 8 |- (z = x -> B = [_z / x]_B)
44	43	eqcomd 2358	. . . . . . 7 |- (z = x -> [_z / x]_B = B)
45	44	eleq2d 2420	. . . . . 6 |- (z = x -> (C e. [_z / x]_B <-> C e. B))
46	42, 45	anbi12d 691	. . . . 5 |- (z = x -> (([z / x]x e. A /\ C e. [_z / x]_B) <-> (x e. A /\ C e. B)))
47	7, 46	ceqsexv 2894	. . . 4 |- (E.z(z = x /\ ([z / x]x e. A /\ C e. [_z / x]_B)) <-> (x e. A /\ C e. B))
48	41, 47	bitri 240	. . 3 |- (E.z([z / x]x e. A /\ <.x, C>. e. ({z} X. [_z / x]_B)) <-> (x e. A /\ C e. B))
49	32, 48	syl6bb 252	. 2 |- (C e. _V -> (<.x, C>. e. U_x e. A ({x} X. B) <-> (x e. A /\ C e. B)))
50	4, 6, 49	pm5.21nii 342	1 |- (<.x, C>. e. U_x e. A ({x} X. B) <-> (x e. A /\ C e. B))

Syntax hints:   <-> wb 176   /\ wa 358  E.wex 1541   = wceq 1642  [wsb 1648   e. wcel 1710  E.wrex 2615  _Vcvv 2859  [_csb 3136  {csn 3737  U_ciun 3969  <.cop 4561   X. cxp 4770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-xp 4784

This theorem is referenced by:  eliunxp  4821  opeliunxp2  4822