New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  opeliunxp GIF version

Theorem opeliunxp 4820
 Description: Membership in a union of Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
opeliunxp (x, C x A ({x} × B) ↔ (x A C B))

Proof of Theorem opeliunxp
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2867 . . 3 (x, C x A ({x} × B) → x, C V)
2 opexb 4603 . . . 4 (x, C V ↔ (x V C V))
32simprbi 450 . . 3 (x, C V → C V)
41, 3syl 15 . 2 (x, C x A ({x} × B) → C V)
5 elex 2867 . . 3 (C BC V)
65adantl 452 . 2 ((x A C B) → C V)
7 vex 2862 . . . . 5 x V
8 opexg 4587 . . . . 5 ((x V C V) → x, C V)
97, 8mpan 651 . . . 4 (C V → x, C V)
10 df-rex 2620 . . . . . . 7 (x A y ({x} × B) ↔ x(x A y ({x} × B)))
11 nfv 1619 . . . . . . . 8 z(x A y ({x} × B))
12 nfs1v 2106 . . . . . . . . 9 x[z / x]x A
13 nfcv 2489 . . . . . . . . . . 11 x{z}
14 nfcsb1v 3168 . . . . . . . . . . 11 x[z / x]B
1513, 14nfxp 4810 . . . . . . . . . 10 x({z} × [z / x]B)
1615nfcri 2483 . . . . . . . . 9 x y ({z} × [z / x]B)
1712, 16nfan 1824 . . . . . . . 8 x([z / x]x A y ({z} × [z / x]B))
18 sbequ12 1919 . . . . . . . . 9 (x = z → (x A ↔ [z / x]x A))
19 sneq 3744 . . . . . . . . . . 11 (x = z → {x} = {z})
20 csbeq1a 3144 . . . . . . . . . . 11 (x = zB = [z / x]B)
2119, 20xpeq12d 4809 . . . . . . . . . 10 (x = z → ({x} × B) = ({z} × [z / x]B))
2221eleq2d 2420 . . . . . . . . 9 (x = z → (y ({x} × B) ↔ y ({z} × [z / x]B)))
2318, 22anbi12d 691 . . . . . . . 8 (x = z → ((x A y ({x} × B)) ↔ ([z / x]x A y ({z} × [z / x]B))))
2411, 17, 23cbvex 1985 . . . . . . 7 (x(x A y ({x} × B)) ↔ z([z / x]x A y ({z} × [z / x]B)))
2510, 24bitri 240 . . . . . 6 (x A y ({x} × B) ↔ z([z / x]x A y ({z} × [z / x]B)))
26 eleq1 2413 . . . . . . . 8 (y = x, C → (y ({z} × [z / x]B) ↔ x, C ({z} × [z / x]B)))
2726anbi2d 684 . . . . . . 7 (y = x, C → (([z / x]x A y ({z} × [z / x]B)) ↔ ([z / x]x A x, C ({z} × [z / x]B))))
2827exbidv 1626 . . . . . 6 (y = x, C → (z([z / x]x A y ({z} × [z / x]B)) ↔ z([z / x]x A x, C ({z} × [z / x]B))))
2925, 28syl5bb 248 . . . . 5 (y = x, C → (x A y ({x} × B) ↔ z([z / x]x A x, C ({z} × [z / x]B))))
30 df-iun 3971 . . . . 5 x A ({x} × B) = {y x A y ({x} × B)}
3129, 30elab2g 2987 . . . 4 (x, C V → (x, C x A ({x} × B) ↔ z([z / x]x A x, C ({z} × [z / x]B))))
329, 31syl 15 . . 3 (C V → (x, C x A ({x} × B) ↔ z([z / x]x A x, C ({z} × [z / x]B))))
33 opelxp 4811 . . . . . . 7 (x, C ({z} × [z / x]B) ↔ (x {z} C [z / x]B))
3433anbi2i 675 . . . . . 6 (([z / x]x A x, C ({z} × [z / x]B)) ↔ ([z / x]x A (x {z} C [z / x]B)))
35 an12 772 . . . . . 6 (([z / x]x A (x {z} C [z / x]B)) ↔ (x {z} ([z / x]x A C [z / x]B)))
36 elsn 3748 . . . . . . . 8 (x {z} ↔ x = z)
37 equcom 1680 . . . . . . . 8 (x = zz = x)
3836, 37bitri 240 . . . . . . 7 (x {z} ↔ z = x)
3938anbi1i 676 . . . . . 6 ((x {z} ([z / x]x A C [z / x]B)) ↔ (z = x ([z / x]x A C [z / x]B)))
4034, 35, 393bitri 262 . . . . 5 (([z / x]x A x, C ({z} × [z / x]B)) ↔ (z = x ([z / x]x A C [z / x]B)))
4140exbii 1582 . . . 4 (z([z / x]x A x, C ({z} × [z / x]B)) ↔ z(z = x ([z / x]x A C [z / x]B)))
42 sbequ12r 1920 . . . . . 6 (z = x → ([z / x]x Ax A))
4320equcoms 1681 . . . . . . . 8 (z = xB = [z / x]B)
4443eqcomd 2358 . . . . . . 7 (z = x[z / x]B = B)
4544eleq2d 2420 . . . . . 6 (z = x → (C [z / x]BC B))
4642, 45anbi12d 691 . . . . 5 (z = x → (([z / x]x A C [z / x]B) ↔ (x A C B)))
477, 46ceqsexv 2894 . . . 4 (z(z = x ([z / x]x A C [z / x]B)) ↔ (x A C B))
4841, 47bitri 240 . . 3 (z([z / x]x A x, C ({z} × [z / x]B)) ↔ (x A C B))
4932, 48syl6bb 252 . 2 (C V → (x, C x A ({x} × B) ↔ (x A C B)))
504, 6, 49pm5.21nii 342 1 (x, C x A ({x} × B) ↔ (x A C B))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642  [wsb 1648   ∈ wcel 1710  ∃wrex 2615  Vcvv 2859  [csb 3136  {csn 3737  ∪ciun 3969  ⟨cop 4561   × cxp 4770 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-reu 2621  df-rmo 2622  df-rab 2623  df-v 2861  df-sbc 3047  df-csb 3137  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-pss 3261  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3971  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-iota 4339  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379  df-fin 4380  df-lefin 4440  df-ltfin 4441  df-ncfin 4442  df-tfin 4443  df-evenfin 4444  df-oddfin 4445  df-sfin 4446  df-spfin 4447  df-phi 4565  df-op 4566  df-proj1 4567  df-proj2 4568  df-opab 4623  df-xp 4784 This theorem is referenced by:  eliunxp  4821  opeliunxp2  4822
 Copyright terms: Public domain W3C validator