Theorem bj-indint 13129

Description: The property of being an inductive class is closed under intersections. (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-indint	|- Ind |^| { x e. A | Ind x }

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem bj-indint

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-bj-ind 13125	. . . . 5 |- (Ind x <-> ( (/) e. x /\ A. y e. x suc y e. x ) )
2	1	simplbi 272	. . . 4 |- (Ind x -> (/) e. x )
3	2	rgenw 2487	. . 3 |- A. x e. A (Ind x -> (/) e. x )
4		0ex 4055	. . . 4 |- (/) e. _V
5	4	elintrab 3783	. . 3 |- ( (/) e. |^| { x e. A | Ind x } <-> A. x e. A (Ind x -> (/) e. x ) )
6	3, 5	mpbir 145	. 2 |- (/) e. |^| { x e. A | Ind x }
7		bj-indsuc 13126	. . . . . 6 |- (Ind x -> ( y e. x -> suc y e. x ) )
8	7	a2i 11	. . . . 5 |- ( (Ind x -> y e. x ) -> (Ind x -> suc y e. x ) )
9	8	ralimi 2495	. . . 4 |- ( A. x e. A (Ind x -> y e. x ) -> A. x e. A (Ind x -> suc y e. x ) )
10		vex 2689	. . . . 5 |- y e. _V
11	10	elintrab 3783	. . . 4 |- ( y e. |^| { x e. A | Ind x } <-> A. x e. A (Ind x -> y e. x ) )
12	10	bj-sucex 13121	. . . . 5 |- suc y e. _V
13	12	elintrab 3783	. . . 4 |- ( suc y e. |^| { x e. A | Ind x } <-> A. x e. A (Ind x -> suc y e. x ) )
14	9, 11, 13	3imtr4i 200	. . 3 |- ( y e. |^| { x e. A | Ind x } -> suc y e. |^| { x e. A | Ind x } )
15	14	rgen 2485	. 2 |- A. y e. |^| { x e. A | Ind x } suc y e. |^| { x e. A | Ind x }
16		df-bj-ind 13125	. 2 |- (Ind |^| { x e. A | Ind x } <-> ( (/) e. |^| { x e. A | Ind x } /\ A. y e. |^| { x e. A | Ind x } suc y e. |^| { x e. A | Ind x } ) )
17	6, 15, 16	mpbir2an 926	1 |- Ind |^| { x e. A | Ind x }

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   A.wral 2416   {crab 2420   (/)c0 3363   |^|cint 3771   suc csuc 4287  Ind wind 13124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-nul 4054  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-bd0 13011  ax-bdor 13014  ax-bdex 13017  ax-bdeq 13018  ax-bdel 13019  ax-bdsb 13020  ax-bdsep 13082

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-nul 3364  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-int 3772  df-suc 4293  df-bdc 13039  df-bj-ind 13125

This theorem is referenced by:  bj-omind  13132