Theorem caovcld 5924

Description: Convert an operation closure law to class notation. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caovclg.1	|- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x F y ) e. E )
caovcld.2	|- ( ph -> A e. C )
caovcld.3	|- ( ph -> B e. D )

Assertion

Ref	Expression
caovcld	|- ( ph -> ( A F B ) e. E )

Distinct variable groups:   x, y, A   y, B   x, C, y   x, D, y   x, E, y   ph, x, y   x, F, y

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem caovcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. 2 |- ( ph -> ph )
2		caovcld.2	. 2 |- ( ph -> A e. C )
3		caovcld.3	. 2 |- ( ph -> B e. D )
4		caovclg.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. C /\ y e. D ) ) -> ( x F y ) e. E )
5	4	caovclg 5923	. 2 |- ( ( ph /\ ( A e. C /\ B e. D ) ) -> ( A F B ) e. E )
6	1, 2, 3, 5	syl12anc 1214	1 |- ( ph -> ( A F B ) e. E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480  (class class class)co 5774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777

This theorem is referenced by:  caovdir2d  5947  caov4d  5955  caovdilemd  5962  caovlem2d  5963  grprinvd  5966  ecopovtrn  6526  ecopovtrng  6529  ordpipqqs  7182  ltanqg  7208  ltmnqg  7209  recexprlem1ssu  7442  mulgt0sr  7586  mulextsr1lem  7588  axmulass  7681  frec2uzrdg  10182  frecuzrdgsuc  10187  frecuzrdgsuctlem  10196  iseqovex  10229  seq3val  10231  seqf  10234  seq3p1  10235  seqp1cd  10239  seq3clss  10240  seq3distr  10286  climcn2  11078