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Theorem recexprlem1ssu 6790
Description: The upper cut of one is a subset of the upper cut of  A  .P.  B. Lemma for recexpr 6794. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
recexpr.1  |-  B  = 
<. { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  ( *Q `  y )  e.  ( 2nd `  A ) ) } ,  {
x  |  E. y
( y  <Q  x  /\  ( *Q `  y
)  e.  ( 1st `  A ) ) }
>.
Assertion
Ref Expression
recexprlem1ssu  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 2nd `  1P )  C_  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A   
x, B, y

Proof of Theorem recexprlem1ssu
Dummy variables  z  w  v  u  f  g  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1pru 6712 . . . 4  |-  ( 2nd `  1P )  =  {
w  |  1Q  <Q  w }
21abeq2i 2164 . . 3  |-  ( w  e.  ( 2nd `  1P ) 
<->  1Q  <Q  w )
3 prop 6631 . . . . . 6  |-  ( A  e.  P.  ->  <. ( 1st `  A ) ,  ( 2nd `  A
) >.  e.  P. )
4 prmuloc2 6723 . . . . . 6  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  ->  E. v  e.  ( 1st `  A ) ( v  .Q  w
)  e.  ( 2nd `  A ) )
53, 4sylan 271 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  ->  E. v  e.  ( 1st `  A ) ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A
) )
6 prnminu 6645 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  ( v  .Q  w
)  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  E. z  e.  ( 2nd `  A ) z 
<Q  ( v  .Q  w
) )
73, 6sylan 271 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( v  .Q  w
)  e.  ( 2nd `  A ) )  ->  E. z  e.  ( 2nd `  A ) z 
<Q  ( v  .Q  w
) )
87ad2ant2rl 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  E. z  e.  ( 2nd `  A
) z  <Q  (
v  .Q  w ) )
9 simp3 917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  z  <Q  ( v  .Q  w
) )
10 simp2l 941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  v  e.  ( 1st `  A
) )
11 elprnql 6637 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. ( 1st `  A
) ,  ( 2nd `  A ) >.  e.  P.  /\  v  e.  ( 1st `  A ) )  -> 
v  e.  Q. )
123, 11sylan 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  P.  /\  v  e.  ( 1st `  A ) )  -> 
v  e.  Q. )
1312ad2ant2r 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  v  e.  Q. )
14133adant3 935 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  v  e.  Q. )
15 simp1r 940 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  1Q  <Q  w )
16 ltrelnq 6521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
1716brel 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1Q 
<Q  w  ->  ( 1Q  e.  Q.  /\  w  e.  Q. ) )
1817simprd 111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1Q 
<Q  w  ->  w  e. 
Q. )
1915, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  w  e.  Q. )
20 recclnq 6548 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  Q.  ->  ( *Q `  w )  e. 
Q. )
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  ( *Q `  w )  e. 
Q. )
22 mulassnqg 6540 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q.  /\  ( *Q `  w )  e. 
Q. )  ->  (
( v  .Q  w
)  .Q  ( *Q
`  w ) )  =  ( v  .Q  ( w  .Q  ( *Q `  w ) ) ) )
2314, 19, 21, 22syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( v  .Q  w
)  .Q  ( *Q
`  w ) )  =  ( v  .Q  ( w  .Q  ( *Q `  w ) ) ) )
24 recidnq 6549 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) )  =  1Q )
2519, 24syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) )  =  1Q )
2625oveq2d 5556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
v  .Q  ( w  .Q  ( *Q `  w ) ) )  =  ( v  .Q  1Q ) )
27 mulidnq 6545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  e.  Q.  ->  (
v  .Q  1Q )  =  v )
2814, 27syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
v  .Q  1Q )  =  v )
2923, 26, 283eqtrd 2092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( v  .Q  w
)  .Q  ( *Q
`  w ) )  =  v )
3029eleq1d 2122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( ( v  .Q  w )  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 1st `  A
)  <->  v  e.  ( 1st `  A ) ) )
3110, 30mpbird 160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( v  .Q  w
)  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  ( 1st `  A
) )
32 ltrnqi 6577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z 
<Q  ( v  .Q  w
)  ->  ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  <Q  ( *Q `  z ) )
33 ltmnqg 6557 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  .Q  f )  <Q  (
h  .Q  g ) ) )
3433adantl 266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A
)  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  -> 
( f  <Q  g  <->  ( h  .Q  f ) 
<Q  ( h  .Q  g
) ) )
35 mulclnq 6532 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( v  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( v  .Q  w
)  e.  Q. )
3614, 19, 35syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
v  .Q  w )  e.  Q. )
37 recclnq 6548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( v  .Q  w )  e.  Q.  ->  ( *Q `  ( v  .Q  w ) )  e. 
Q. )
3836, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  ( *Q `  ( v  .Q  w ) )  e. 
Q. )
3916brel 4420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z 
<Q  ( v  .Q  w
)  ->  ( z  e.  Q.  /\  ( v  .Q  w )  e. 
Q. ) )
4039simpld 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
<Q  ( v  .Q  w
)  ->  z  e.  Q. )
419, 40syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  z  e.  Q. )
42 recclnq 6548 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  Q.  ->  ( *Q `  z )  e. 
Q. )
4341, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  ( *Q `  z )  e. 
Q. )
44 mulcomnqg 6539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  g
)  =  ( g  .Q  f ) )
4544adantl 266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A
)  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )
)  ->  ( f  .Q  g )  =  ( g  .Q  f ) )
4634, 38, 43, 19, 45caovord2d 5698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( *Q `  (
v  .Q  w ) )  <Q  ( *Q `  z )  <->  ( ( *Q `  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) )
4732, 46syl5ib 147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
z  <Q  ( v  .Q  w )  ->  (
( *Q `  (
v  .Q  w ) )  .Q  w ) 
<Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )
48 1nq 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1Q  e.  Q.
49 mulidnq 6545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1Q  e.  Q.  ->  ( 1Q  .Q  1Q )  =  1Q )
5048, 49ax-mp 7 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1Q 
.Q  1Q )  =  1Q
51 mulcomnqg 6539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( v  .Q  w
)  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( v  .Q  w ) )  e.  Q. )  -> 
( ( v  .Q  w )  .Q  ( *Q `  ( v  .Q  w ) ) )  =  ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  ( v  .Q  w
) ) )
5237, 51mpdan 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  .Q  w )  e.  Q.  ->  (
( v  .Q  w
)  .Q  ( *Q
`  ( v  .Q  w ) ) )  =  ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  ( v  .Q  w
) ) )
53 recidnq 6549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( v  .Q  w )  e.  Q.  ->  (
( v  .Q  w
)  .Q  ( *Q
`  ( v  .Q  w ) ) )  =  1Q )
5452, 53eqtr3d 2090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( v  .Q  w )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  (
v  .Q  w ) )  .Q  ( v  .Q  w ) )  =  1Q )
5554, 24oveqan12d 5559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( v  .Q  w
)  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  ( v  .Q  w
) )  .Q  (
w  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  ( 1Q 
.Q  1Q ) )
5636, 19, 55syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  .Q  (
v  .Q  w ) )  .Q  ( w  .Q  ( *Q `  w ) ) )  =  ( 1Q  .Q  1Q ) )
57 mulassnqg 6540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
( f  .Q  g
)  .Q  h )  =  ( f  .Q  ( g  .Q  h
) ) )
5857adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A
)  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. ) )  -> 
( ( f  .Q  g )  .Q  h
)  =  ( f  .Q  ( g  .Q  h ) ) )
59 mulclnq 6532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  .Q  g
)  e.  Q. )
6059adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A
)  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  /\  (
f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )
)  ->  ( f  .Q  g )  e.  Q. )
6138, 36, 19, 45, 58, 21, 60caov4d 5713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  .Q  (
v  .Q  w ) )  .Q  ( w  .Q  ( *Q `  w ) ) )  =  ( ( ( *Q `  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  .Q  ( ( v  .Q  w )  .Q  ( *Q `  w ) ) ) )
6256, 61eqtr3d 2090 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  ( 1Q  .Q  1Q )  =  ( ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  .Q  (
( v  .Q  w
)  .Q  ( *Q
`  w ) ) ) )
6350, 62syl5reqr 2103 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  .Q  w
)  .Q  ( ( v  .Q  w )  .Q  ( *Q `  w ) ) )  =  1Q )
6460, 38, 19caovcld 5682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( *Q `  (
v  .Q  w ) )  .Q  w )  e.  Q. )
6560, 36, 21caovcld 5682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( v  .Q  w
)  .Q  ( *Q
`  w ) )  e.  Q. )
66 recmulnqg 6547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  .Q  w
)  e.  Q.  /\  ( ( v  .Q  w )  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  Q. )  -> 
( ( *Q `  ( ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  .Q  w
) )  =  ( ( v  .Q  w
)  .Q  ( *Q
`  w ) )  <-> 
( ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  .Q  (
( v  .Q  w
)  .Q  ( *Q
`  w ) ) )  =  1Q ) )
6764, 65, 66syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( *Q `  (
( *Q `  (
v  .Q  w ) )  .Q  w ) )  =  ( ( v  .Q  w )  .Q  ( *Q `  w ) )  <->  ( (
( *Q `  (
v  .Q  w ) )  .Q  w )  .Q  ( ( v  .Q  w )  .Q  ( *Q `  w
) ) )  =  1Q ) )
6863, 67mpbird 160 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  ( *Q `  ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  w ) )  =  ( ( v  .Q  w )  .Q  ( *Q `  w ) ) )
6968eleq1d 2122 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( *Q `  (
( *Q `  (
v  .Q  w ) )  .Q  w ) )  e.  ( 1st `  A )  <->  ( (
v  .Q  w )  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 1st `  A
) ) )
7069biimprd 151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( ( v  .Q  w )  .Q  ( *Q `  w ) )  e.  ( 1st `  A
)  ->  ( *Q `  ( ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  .Q  w
) )  e.  ( 1st `  A ) ) )
71 breq1 3795 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  ->  (
y  <Q  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  <->  ( ( *Q `  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) )
72 fveq2 5206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  ->  ( *Q `  y )  =  ( *Q `  (
( *Q `  (
v  .Q  w ) )  .Q  w ) ) )
7372eleq1d 2122 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  ->  (
( *Q `  y
)  e.  ( 1st `  A )  <->  ( *Q `  ( ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  .Q  w
) )  e.  ( 1st `  A ) ) )
7471, 73anbi12d 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  ->  (
( y  <Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w )  /\  ( *Q `  y )  e.  ( 1st `  A ) )  <->  ( ( ( *Q `  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  <Q 
( ( *Q `  z )  .Q  w
)  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  .Q  w
) )  e.  ( 1st `  A ) ) ) )
7574spcegv 2658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( *Q `  (
v  .Q  w ) )  .Q  w )  e.  Q.  ->  (
( ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w )  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  .Q  w
) )  e.  ( 1st `  A ) )  ->  E. y
( y  <Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w )  /\  ( *Q `  y )  e.  ( 1st `  A ) ) ) )
7664, 75syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w )  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  .Q  w
) )  e.  ( 1st `  A ) )  ->  E. y
( y  <Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w )  /\  ( *Q `  y )  e.  ( 1st `  A ) ) ) )
77 recexpr.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  B  = 
<. { x  |  E. y ( x  <Q  y  /\  ( *Q `  y )  e.  ( 2nd `  A ) ) } ,  {
x  |  E. y
( y  <Q  x  /\  ( *Q `  y
)  e.  ( 1st `  A ) ) }
>.
7877recexprlemelu 6779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( *Q `  z
)  .Q  w )  e.  ( 2nd `  B
)  <->  E. y ( y 
<Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  /\  ( *Q `  y )  e.  ( 1st `  A ) ) )
7976, 78syl6ibr 155 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( ( ( *Q
`  ( v  .Q  w ) )  .Q  w )  <Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w )  /\  ( *Q `  ( ( *Q `  ( v  .Q  w
) )  .Q  w
) )  e.  ( 1st `  A ) )  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  e.  ( 2nd `  B ) ) )
8047, 70, 79syl2and 283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( z  <Q  (
v  .Q  w )  /\  ( ( v  .Q  w )  .Q  ( *Q `  w
) )  e.  ( 1st `  A ) )  ->  ( ( *Q `  z )  .Q  w )  e.  ( 2nd `  B ) ) )
819, 31, 80mp2and 417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  (
( *Q `  z
)  .Q  w )  e.  ( 2nd `  B
) )
82 mulidnq 6545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  1Q )  =  w )
83 mulcomnqg 6539 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. )  -> 
( w  .Q  1Q )  =  ( 1Q  .Q  w ) )
8448, 83mpan2 409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
w  .Q  1Q )  =  ( 1Q  .Q  w ) )
8582, 84eqtr3d 2090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  Q.  ->  w  =  ( 1Q  .Q  w ) )
8685adantl 266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  w  =  ( 1Q 
.Q  w ) )
87 recidnq 6549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
z  .Q  ( *Q
`  z ) )  =  1Q )
8887oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  Q.  ->  (
( z  .Q  ( *Q `  z ) )  .Q  w )  =  ( 1Q  .Q  w
) )
8988adantr 265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( z  .Q  ( *Q `  z
) )  .Q  w
)  =  ( 1Q 
.Q  w ) )
90 mulassnqg 6540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  ( *Q `  z )  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  (
( z  .Q  ( *Q `  z ) )  .Q  w )  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) )
9142, 90syl3an2 1180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  (
( z  .Q  ( *Q `  z ) )  .Q  w )  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) )
92913anidm12 1203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  ( ( z  .Q  ( *Q `  z
) )  .Q  w
)  =  ( z  .Q  ( ( *Q
`  z )  .Q  w ) ) )
9386, 89, 923eqtr2d 2094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  Q.  /\  w  e.  Q. )  ->  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q
`  z )  .Q  w ) ) )
9441, 19, 93syl2anc 397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )
95 oveq2 5548 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
z  .Q  x )  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )
9695eqeq2d 2067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( *Q
`  z )  .Q  w )  ->  (
w  =  ( z  .Q  x )  <->  w  =  ( z  .Q  (
( *Q `  z
)  .Q  w ) ) ) )
9796rspcev 2673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( *Q `  z )  .Q  w
)  e.  ( 2nd `  B )  /\  w  =  ( z  .Q  ( ( *Q `  z )  .Q  w
) ) )  ->  E. x  e.  ( 2nd `  B ) w  =  ( z  .Q  x ) )
9881, 94, 97syl2anc 397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) )  /\  z  <Q 
( v  .Q  w
) )  ->  E. x  e.  ( 2nd `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) )
99983expia 1117 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  (
z  <Q  ( v  .Q  w )  ->  E. x  e.  ( 2nd `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) ) )
10099reximdv 2437 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( 2nd `  A ) z 
<Q  ( v  .Q  w
)  ->  E. z  e.  ( 2nd `  A
) E. x  e.  ( 2nd `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) ) )
10177recexprlempr 6788 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P.  ->  B  e.  P. )
102 df-imp 6625 . . . . . . . . . 10  |-  .P.  =  ( y  e.  P. ,  w  e.  P.  |->  <. { u  e.  Q.  |  E. f  e.  Q.  E. g  e.  Q.  (
f  e.  ( 1st `  y )  /\  g  e.  ( 1st `  w
)  /\  u  =  ( f  .Q  g
) ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. f  e.  Q.  E. g  e.  Q.  (
f  e.  ( 2nd `  y )  /\  g  e.  ( 2nd `  w
)  /\  u  =  ( f  .Q  g
) ) } >. )
103102, 59genpelvu 6669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( w  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) )  <->  E. z  e.  ( 2nd `  A ) E. x  e.  ( 2nd `  B ) w  =  ( z  .Q  x
) ) )
104101, 103mpdan 406 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B
) )  <->  E. z  e.  ( 2nd `  A
) E. x  e.  ( 2nd `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) ) )
105104ad2antrr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  (
w  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B
) )  <->  E. z  e.  ( 2nd `  A
) E. x  e.  ( 2nd `  B
) w  =  ( z  .Q  x ) ) )
106100, 105sylibrd 162 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( 2nd `  A ) z 
<Q  ( v  .Q  w
)  ->  w  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) ) ) )
1078, 106mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  /\  ( v  e.  ( 1st `  A )  /\  ( v  .Q  w )  e.  ( 2nd `  A ) ) )  ->  w  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) ) )
1085, 107rexlimddv 2454 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  1Q  <Q  w )  ->  w  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B
) ) )
109108ex 112 . . 3  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 1Q  <Q  w  ->  w  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) ) ) )
1102, 109syl5bi 145 . 2  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  ( 2nd `  1P )  ->  w  e.  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) ) ) )
111110ssrdv 2979 1  |-  ( A  e.  P.  ->  ( 2nd `  1P )  C_  ( 2nd `  ( A  .P.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    /\ w3a 896    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   {cab 2042   E.wrex 2324    C_ wss 2945   <.cop 3406   class class class wbr 3792   ` cfv 4930  (class class class)co 5540   1stc1st 5793   2ndc2nd 5794   Q.cnq 6436   1Qc1q 6437    .Q cmq 6439   *Qcrq 6440    <Q cltq 6441   P.cnp 6447   1Pc1p 6448    .P. cmp 6450
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-imp 6625
This theorem is referenced by:  recexprlemex  6793
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