Theorem dvdsmulgcd 10621

Description: Relationship between the order of an element and that of a multiple. (a divisibility equivalent). (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsmulgcd	|- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A || ( B x. C ) <-> A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) )

Proof of Theorem dvdsmulgcd

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 497	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> C e. ZZ )
2		dvdszrcl 10408	. . . . . 6 |- ( A || ( B x. C ) -> ( A e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ ) )
3	2	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> ( A e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ ) )
4	3	simpld 110	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> A e. ZZ )
5		bezout 10607	. . . 4 |- ( ( C e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) )
6	1, 4, 5	syl2anc 403	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) )
7	4	adantr 270	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A e. ZZ )
8		simplll 500	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> B e. ZZ )
9		simpllr 501	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> C e. ZZ )
10		simprl 498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. ZZ )
11	9, 10	zmulcld 8608	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( C x. x ) e. ZZ )
12	8, 11	zmulcld 8608	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. ( C x. x ) ) e. ZZ )
13		simprr 499	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. ZZ )
14	7, 13	zmulcld 8608	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( A x. y ) e. ZZ )
15	8, 14	zmulcld 8608	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. ( A x. y ) ) e. ZZ )
16		simplr 497	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( B x. C ) )
17	8, 9	zmulcld 8608	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. C ) e. ZZ )
18		dvdsmultr1 10441	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( A || ( B x. C ) -> A || ( ( B x. C ) x. x ) ) )
19	7, 17, 10, 18	syl3anc 1170	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( A || ( B x. C ) -> A || ( ( B x. C ) x. x ) ) )
20	16, 19	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( ( B x. C ) x. x ) )
21	8	zcnd 8603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> B e. CC )
22	9	zcnd 8603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> C e. CC )
23	10	zcnd 8603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> x e. CC )
24	21, 22, 23	mulassd 7256	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( B x. C ) x. x ) = ( B x. ( C x. x ) ) )
25	20, 24	breqtrd 3829	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( B x. ( C x. x ) ) )
26	8, 13	zmulcld 8608	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. y ) e. ZZ )
27		dvdsmul1 10425	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. y ) e. ZZ ) -> A || ( A x. ( B x. y ) ) )
28	7, 26, 27	syl2anc 403	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( A x. ( B x. y ) ) )
29	7	zcnd 8603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A e. CC )
30	13	zcnd 8603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> y e. CC )
31	21, 29, 30	mul12d 7379	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. ( A x. y ) ) = ( A x. ( B x. y ) ) )
32	28, 31	breqtrrd 3831	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( B x. ( A x. y ) ) )
33		dvds2add 10437	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C x. x ) ) e. ZZ /\ ( B x. ( A x. y ) ) e. ZZ ) -> ( ( A || ( B x. ( C x. x ) ) /\ A || ( B x. ( A x. y ) ) ) -> A || ( ( B x. ( C x. x ) ) + ( B x. ( A x. y ) ) ) ) )
34	33	imp 122	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C x. x ) ) e. ZZ /\ ( B x. ( A x. y ) ) e. ZZ ) /\ ( A || ( B x. ( C x. x ) ) /\ A || ( B x. ( A x. y ) ) ) ) -> A || ( ( B x. ( C x. x ) ) + ( B x. ( A x. y ) ) ) )
35	7, 12, 15, 25, 32, 34	syl32anc 1178	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( ( B x. ( C x. x ) ) + ( B x. ( A x. y ) ) ) )
36	11	zcnd 8603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( C x. x ) e. CC )
37	14	zcnd 8603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( A x. y ) e. CC )
38	21, 36, 37	adddid 7257	. . . . . 6 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( B x. ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) ) = ( ( B x. ( C x. x ) ) + ( B x. ( A x. y ) ) ) )
39	35, 38	breqtrrd 3831	. . . . 5 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> A || ( B x. ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) ) )
40		oveq2 5571	. . . . . 6 |- ( ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) -> ( B x. ( C gcd A ) ) = ( B x. ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) ) )
41	40	breq2d 3817	. . . . 5 |- ( ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) -> ( A || ( B x. ( C gcd A ) ) <-> A || ( B x. ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) ) ) )
42	39, 41	syl5ibrcom 155	. . . 4 |- ( ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) /\ ( x e. ZZ /\ y e. ZZ ) ) -> ( ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) -> A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) )
43	42	rexlimdvva 2489	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> ( E. x e. ZZ E. y e. ZZ ( C gcd A ) = ( ( C x. x ) + ( A x. y ) ) -> A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) )
44	6, 43	mpd 13	. 2 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. C ) ) -> A || ( B x. ( C gcd A ) ) )
45		dvdszrcl 10408	. . . . 5 |- ( A || ( B x. ( C gcd A ) ) -> ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ ) )
46	45	adantl 271	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ ) )
47	46	simpld 110	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> A e. ZZ )
48	46	simprd 112	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ )
49		zmulcl 8537	. . . 4 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( B x. C ) e. ZZ )
50	49	adantr 270	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( B x. C ) e. ZZ )
51		simpr 108	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> A || ( B x. ( C gcd A ) ) )
52		simplr 497	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> C e. ZZ )
53		gcddvds 10562	. . . . . 6 |- ( ( C e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> ( ( C gcd A ) || C /\ ( C gcd A ) || A ) )
54	52, 47, 53	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( ( C gcd A ) || C /\ ( C gcd A ) || A ) )
55	54	simpld 110	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( C gcd A ) || C )
56	52, 47	gcdcld 10567	. . . . . 6 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( C gcd A ) e. NN0 )
57	56	nn0zd 8600	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( C gcd A ) e. ZZ )
58		simpll 496	. . . . 5 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> B e. ZZ )
59		dvdscmul 10430	. . . . 5 |- ( ( ( C gcd A ) e. ZZ /\ C e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( ( C gcd A ) || C -> ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) ) )
60	57, 52, 58, 59	syl3anc 1170	. . . 4 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( ( C gcd A ) || C -> ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) ) )
61	55, 60	mpd 13	. . 3 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) )
62		dvdstr 10440	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ ) -> ( ( A || ( B x. ( C gcd A ) ) /\ ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) ) -> A || ( B x. C ) ) )
63	62	imp 122	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ ( B x. ( C gcd A ) ) e. ZZ /\ ( B x. C ) e. ZZ ) /\ ( A || ( B x. ( C gcd A ) ) /\ ( B x. ( C gcd A ) ) || ( B x. C ) ) ) -> A || ( B x. C ) )
64	47, 48, 50, 51, 61, 63	syl32anc 1178	. 2 |- ( ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) -> A || ( B x. C ) )
65	44, 64	impbida 561	1 |- ( ( B e. ZZ /\ C e. ZZ ) -> ( A || ( B x. C ) <-> A || ( B x. ( C gcd A ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 920   = wceq 1285   e. wcel 1434   E.wrex 2354   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563   + caddc 7098   x. cmul 7100   ZZcz 8484   || cdvds 10403   gcd cgcd 10545

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209  ax-caucvg 7210

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-sup 6491  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-3 8218  df-4 8219  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-q 8838  df-rp 8868  df-fz 9158  df-fzo 9282  df-fl 9404  df-mod 9457  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086  df-dvds 10404  df-gcd 10546

This theorem is referenced by:  coprmdvds  10681