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Theorem tfrexlem 5979
Description: The transfinite recursion function is set-like if the input is. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrexlem.1  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
tfrexlem.2  |-  ( ph  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
Assertion
Ref Expression
tfrexlem  |-  ( (
ph  /\  C  e.  V )  ->  (recs ( F ) `  C
)  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, f, y, A    f, F, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, f)    C( x, y, f)    V( x, y, f)

Proof of Theorem tfrexlem
Dummy variables  e  g  h  u  v  t  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5206 . . . . 5  |-  ( z  =  C  ->  (recs ( F ) `  z
)  =  (recs ( F ) `  C
) )
21eleq1d 2122 . . . 4  |-  ( z  =  C  ->  (
(recs ( F ) `
 z )  e. 
_V 
<->  (recs ( F ) `
 C )  e. 
_V ) )
32imbi2d 223 . . 3  |-  ( z  =  C  ->  (
( ph  ->  (recs ( F ) `  z
)  e.  _V )  <->  (
ph  ->  (recs ( F ) `  C )  e.  _V ) ) )
4 inss2 3186 . . . . . . 7  |-  ( suc 
suc  z  i^i  On )  C_  On
5 ssorduni 4241 . . . . . . 7  |-  ( ( suc  suc  z  i^i  On )  C_  On  ->  Ord  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) )
64, 5ax-mp 7 . . . . . 6  |-  Ord  U. ( suc  suc  z  i^i  On )
7 vex 2577 . . . . . . . . . 10  |-  z  e. 
_V
87sucex 4253 . . . . . . . . 9  |-  suc  z  e.  _V
98sucex 4253 . . . . . . . 8  |-  suc  suc  z  e.  _V
109inex1 3919 . . . . . . 7  |-  ( suc 
suc  z  i^i  On )  e.  _V
1110uniex 4202 . . . . . 6  |-  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  e.  _V
12 elon2 4141 . . . . . 6  |-  ( U. ( suc  suc  z  i^i  On )  e.  On  <->  ( Ord  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  e.  _V )
)
136, 11, 12mpbir2an 860 . . . . 5  |-  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  e.  On
14 tfrexlem.1 . . . . . . 7  |-  A  =  { f  |  E. x  e.  On  (
f  Fn  x  /\  A. y  e.  x  ( f `  y )  =  ( F `  ( f  |`  y
) ) ) }
1514tfrlem3 5957 . . . . . 6  |-  A  =  { v  |  E. z  e.  On  (
v  Fn  z  /\  A. u  e.  z  ( v `  u )  =  ( F `  ( v  |`  u
) ) ) }
16 tfrexlem.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x ( Fun 
F  /\  ( F `  x )  e.  _V ) )
17 fveq2 5206 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
1817eleq1d 2122 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  e.  _V  <->  ( F `  z )  e.  _V ) )
1918anbi2d 445 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( Fun  F  /\  ( F `  x )  e.  _V )  <->  ( Fun  F  /\  ( F `  z )  e.  _V ) ) )
2019cbvalv 1810 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( Fun  F  /\  ( F `  x
)  e.  _V )  <->  A. z ( Fun  F  /\  ( F `  z
)  e.  _V )
)
2116, 20sylib 131 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z ( Fun 
F  /\  ( F `  z )  e.  _V ) )
2215, 21tfrlemi1 5977 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  e.  On )  ->  E. g ( g  Fn  U. ( suc 
suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) ) )
2313, 22mpan2 409 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. g ( g  Fn  U. ( suc 
suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) ) )
2415recsfval 5962 . . . . . . . . . . 11  |- recs ( F )  =  U. A
2524breqi 3798 . . . . . . . . . 10  |-  ( zrecs ( F ) y  <-> 
z U. A y )
26 df-br 3793 . . . . . . . . . 10  |-  ( z U. A y  <->  <. z ,  y >.  e.  U. A
)
27 eluni 3611 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
z ,  y >.  e.  U. A  <->  E. h
( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )
2825, 26, 273bitri 199 . . . . . . . . 9  |-  ( zrecs ( F ) y  <->  E. h ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )
297sucid 4182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  z  e. 
suc  z
30 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
<. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A )  ->  h  e.  A )
31 vex 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  h  e. 
_V
3214, 31tfrlem3a 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( h  e.  A  <->  E. t  e.  On  ( h  Fn  t  /\  A. e  e.  t  ( h `  e )  =  ( F `  ( h  |`  e ) ) ) )
3330, 32sylib 131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
<. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A )  ->  E. t  e.  On  ( h  Fn  t  /\  A. e  e.  t  ( h `  e )  =  ( F `  ( h  |`  e ) ) ) )
34 simprl 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A )  /\  (
t  e.  On  /\  ( h  Fn  t  /\  A. e  e.  t  ( h `  e
)  =  ( F `
 ( h  |`  e ) ) ) ) )  ->  t  e.  On )
35 simprrl 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A )  /\  (
t  e.  On  /\  ( h  Fn  t  /\  A. e  e.  t  ( h `  e
)  =  ( F `
 ( h  |`  e ) ) ) ) )  ->  h  Fn  t )
36 simpll 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A )  /\  (
t  e.  On  /\  ( h  Fn  t  /\  A. e  e.  t  ( h `  e
)  =  ( F `
 ( h  |`  e ) ) ) ) )  ->  <. z ,  y >.  e.  h
)
37 fnop 5030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( h  Fn  t  /\  <.
z ,  y >.  e.  h )  ->  z  e.  t )
3835, 36, 37syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A )  /\  (
t  e.  On  /\  ( h  Fn  t  /\  A. e  e.  t  ( h `  e
)  =  ( F `
 ( h  |`  e ) ) ) ) )  ->  z  e.  t )
39 onelon 4149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( t  e.  On  /\  z  e.  t )  ->  z  e.  On )
4034, 38, 39syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A )  /\  (
t  e.  On  /\  ( h  Fn  t  /\  A. e  e.  t  ( h `  e
)  =  ( F `
 ( h  |`  e ) ) ) ) )  ->  z  e.  On )
4133, 40rexlimddv 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
<. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A )  ->  z  e.  On )
4241adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  -> 
z  e.  On )
43 suceloni 4255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  On  ->  suc  z  e.  On )
4442, 43syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  suc  z  e.  On )
45 suceloni 4255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( suc  z  e.  On  ->  suc 
suc  z  e.  On )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  suc  suc  z  e.  On )
47 onss 4247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( suc 
suc  z  e.  On  ->  suc  suc  z  C_  On )
4846, 47syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  suc  suc  z  C_  On )
49 df-ss 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( suc 
suc  z  C_  On  <->  ( suc  suc  z  i^i  On )  =  suc  suc  z )
5048, 49sylib 131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  -> 
( suc  suc  z  i^i 
On )  =  suc  suc  z )
5150unieqd 3619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  =  U. suc  suc  z )
52 eloni 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( suc  z  e.  On  ->  Ord 
suc  z )
53 ordtr 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Ord 
suc  z  ->  Tr  suc  z )
5444, 52, 533syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  Tr  suc  z )
558unisuc 4178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Tr 
suc  z  <->  U. suc  suc  z  =  suc  z )
5654, 55sylib 131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  U. suc  suc  z  =  suc  z )
5751, 56eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  =  suc  z )
5829, 57syl5eleqr 2143 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  -> 
z  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) )
59 fndm 5026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  Fn  U. ( suc 
suc  z  i^i  On )  ->  dom  g  =  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) )
6059ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  dom  g  =  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) )
6158, 60eleqtrrd 2133 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  -> 
z  e.  dom  g
)
627eldm 4560 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  dom  g  <->  E. x  z g x )
6361, 62sylib 131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  ->  E. x  z g
x )
64 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  /\  ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )  /\  z
g x )  -> 
z g x )
65 fneq2 5016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  U. ( suc 
suc  z  i^i  On )  ->  ( g  Fn  v  <->  g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ) )
66 raleq 2522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  =  U. ( suc 
suc  z  i^i  On )  ->  ( A. w  e.  v  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) )  <->  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) ) )
6765, 66anbi12d 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( v  =  U. ( suc 
suc  z  i^i  On )  ->  ( ( g  Fn  v  /\  A. w  e.  v  (
g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  <->  ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) ) ) )
6867rspcev 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( U. ( suc  suc  z  i^i  On )  e.  On  /\  ( g  Fn  U. ( suc 
suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) ) )  ->  E. v  e.  On  ( g  Fn  v  /\  A. w  e.  v  ( g `  w
)  =  ( F `
 ( g  |`  w ) ) ) )
6913, 68mpan 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  ->  E. v  e.  On  ( g  Fn  v  /\  A. w  e.  v  ( g `  w
)  =  ( F `
 ( g  |`  w ) ) ) )
70 vex 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  g  e. 
_V
7114, 70tfrlem3a 5956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g  e.  A  <->  E. v  e.  On  ( g  Fn  v  /\  A. w  e.  v  ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) ) )
7269, 71sylibr 141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  -> 
g  e.  A )
7372ad2antrr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  /\  ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )  /\  z
g x )  -> 
g  e.  A )
74 simplrr 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  /\  ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )  /\  z
g x )  ->  h  e.  A )
75 simplrl 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  /\  ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )  /\  z
g x )  ->  <. z ,  y >.  e.  h )
76 df-br 3793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z h y  <->  <. z ,  y >.  e.  h
)
7775, 76sylibr 141 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  /\  ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )  /\  z
g x )  -> 
z h y )
7815tfrlem5 5961 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  e.  A  /\  h  e.  A )  ->  ( ( z g x  /\  z h y )  ->  x  =  y ) )
7978imp 119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( g  e.  A  /\  h  e.  A
)  /\  ( z
g x  /\  z
h y ) )  ->  x  =  y )
8073, 74, 64, 77, 79syl22anc 1147 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  /\  ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )  /\  z
g x )  ->  x  =  y )
8164, 80breqtrd 3816 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  /\  ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
) )  /\  z
g x )  -> 
z g y )
8263, 81exlimddv 1794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  -> 
z g y )
83 vex 2577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  e. 
_V
847, 83brelrn 4595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z g y  ->  y  e.  ran  g )
8582, 84syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  -> 
y  e.  ran  g
)
86 elssuni 3636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ran  g  -> 
y  C_  U. ran  g
)
8785, 86syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  /\  ( <. z ,  y
>.  e.  h  /\  h  e.  A ) )  -> 
y  C_  U. ran  g
)
8887ex 112 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  -> 
( ( <. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A
)  ->  y  C_  U.
ran  g ) )
8988exlimdv 1716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  -> 
( E. h (
<. z ,  y >.  e.  h  /\  h  e.  A )  ->  y  C_ 
U. ran  g )
)
9028, 89syl5bi 145 . . . . . . . 8  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  -> 
( zrecs ( F ) y  ->  y  C_ 
U. ran  g )
)
9190alrimiv 1770 . . . . . . 7  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  ->  A. y ( zrecs ( F ) y  -> 
y  C_  U. ran  g
) )
92 fvss 5217 . . . . . . 7  |-  ( A. y ( zrecs ( F ) y  -> 
y  C_  U. ran  g
)  ->  (recs ( F ) `  z
)  C_  U. ran  g
)
9391, 92syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  -> 
(recs ( F ) `
 z )  C_  U.
ran  g )
9470rnex 4627 . . . . . . . 8  |-  ran  g  e.  _V
9594uniex 4202 . . . . . . 7  |-  U. ran  g  e.  _V
9695ssex 3922 . . . . . 6  |-  ( (recs ( F ) `  z )  C_  U. ran  g  ->  (recs ( F ) `  z )  e.  _V )
9793, 96syl 14 . . . . 5  |-  ( ( g  Fn  U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e. 
U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w
) ) )  -> 
(recs ( F ) `
 z )  e. 
_V )
9897exlimiv 1505 . . . 4  |-  ( E. g ( g  Fn 
U. ( suc  suc  z  i^i  On )  /\  A. w  e.  U. ( suc  suc  z  i^i  On ) ( g `  w )  =  ( F `  ( g  |`  w ) ) )  ->  (recs ( F ) `  z )  e.  _V )
9923, 98syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  (recs ( F ) `
 z )  e. 
_V )
1003, 99vtoclg 2630 . 2  |-  ( C  e.  V  ->  ( ph  ->  (recs ( F ) `  C )  e.  _V ) )
101100impcom 120 1  |-  ( (
ph  /\  C  e.  V )  ->  (recs ( F ) `  C
)  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101   A.wal 1257    = wceq 1259   E.wex 1397    e. wcel 1409   {cab 2042   A.wral 2323   E.wrex 2324   _Vcvv 2574    i^i cin 2944    C_ wss 2945   <.cop 3406   U.cuni 3608   class class class wbr 3792   Tr wtr 3882   Ord word 4127   Oncon0 4128   suc csuc 4130   dom cdm 4373   ran crn 4374    |` cres 4375   Fun wfun 4924    Fn wfn 4925   ` cfv 4930  recscrecs 5950
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-id 4058  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-recs 5951
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