Theorem ennnfonelemhom 11928

Description: Lemma for ennnfone 11938. The sequences in H increase in length without bound if you go out far enough. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfonelemhom.m	|- ( ph -> M e. om )

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemhom	|- ( ph -> E. i e. NN0 M e. dom ( H ` i ) )

Distinct variable groups:   i, H, k, j, x, y   i, M   ph, i, k, x, y, j   ph, n   x, N, y, j, k   n, N   j, G   k, F, x, y, j   n, F, j   x, A, y, j   j, J   x, i, y, j   i, n, H, k

Allowed substitution hints:   A( i, k, n)   F( i)   G( x, y, i, k, n)   J( x, y, i, k, n)   M( x, y, j, k, n)   N( i)

Proof of Theorem ennnfonelemhom

Dummy variables q w a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemhom.m	. 2 |- ( ph -> M e. om )
2		eleq1 2202	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( w e. dom ( H ` i ) <-> (/) e. dom ( H ` i ) ) )
3	2	rexbidv 2438	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) <-> E. i e. NN0 (/) e. dom ( H ` i ) ) )
4	3	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = (/) -> ( ( ph -> E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) ) <-> ( ph -> E. i e. NN0 (/) e. dom ( H ` i ) ) ) )
5		eleq1 2202	. . . . 5 |- ( w = k -> ( w e. dom ( H ` i ) <-> k e. dom ( H ` i ) ) )
6	5	rexbidv 2438	. . . 4 |- ( w = k -> ( E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) <-> E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) ) )
7	6	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) ) <-> ( ph -> E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) ) ) )
8		eleq1 2202	. . . . 5 |- ( w = suc k -> ( w e. dom ( H ` i ) <-> suc k e. dom ( H ` i ) ) )
9	8	rexbidv 2438	. . . 4 |- ( w = suc k -> ( E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) <-> E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) ) )
10	9	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = suc k -> ( ( ph -> E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) ) <-> ( ph -> E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) ) ) )
11		eleq1 2202	. . . . 5 |- ( w = M -> ( w e. dom ( H ` i ) <-> M e. dom ( H ` i ) ) )
12	11	rexbidv 2438	. . . 4 |- ( w = M -> ( E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) <-> E. i e. NN0 M e. dom ( H ` i ) ) )
13	12	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> E. i e. NN0 w e. dom ( H ` i ) ) <-> ( ph -> E. i e. NN0 M e. dom ( H ` i ) ) ) )
14		1nn0 8993	. . . 4 |- 1 e. NN0
15		0ex 4055	. . . . . 6 |- (/) e. _V
16	15	snid 3556	. . . . 5 |- (/) e. { (/) }
17		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
18		ennnfonelemh.f	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
19		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
20		ennnfonelemh.g	. . . . . . . 8 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
21		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
22		ennnfonelemh.j	. . . . . . . 8 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
23		ennnfonelemh.h	. . . . . . . 8 |- H = seq 0 ( G , J )
24	17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	ennnfonelem1 11920	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( H ` 1 ) = { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } )
25	24	dmeqd 4741	. . . . . 6 |- ( ph -> dom ( H ` 1 ) = dom { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } )
26		peano1 4508	. . . . . . . 8 |- (/) e. om
27		fof 5345	. . . . . . . . . 10 |- ( F : om -onto-> A -> F : om --> A )
28	18, 27	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : om --> A )
29	26	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (/) e. om )
30	28, 29	ffvelrnd 5556	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( F ` (/) ) e. A )
31		fnsng 5170	. . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. om /\ ( F ` (/) ) e. A ) -> { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } Fn { (/) } )
32	26, 30, 31	sylancr 410	. . . . . . 7 |- ( ph -> { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } Fn { (/) } )
33		fndm 5222	. . . . . . 7 |- ( { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } Fn { (/) } -> dom { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } = { (/) } )
34	32, 33	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> dom { <. (/) , ( F ` (/) ) >. } = { (/) } )
35	25, 34	eqtrd 2172	. . . . 5 |- ( ph -> dom ( H ` 1 ) = { (/) } )
36	16, 35	eleqtrrid 2229	. . . 4 |- ( ph -> (/) e. dom ( H ` 1 ) )
37		fveq2 5421	. . . . . . 7 |- ( i = 1 -> ( H ` i ) = ( H ` 1 ) )
38	37	dmeqd 4741	. . . . . 6 |- ( i = 1 -> dom ( H ` i ) = dom ( H ` 1 ) )
39	38	eleq2d 2209	. . . . 5 |- ( i = 1 -> ( (/) e. dom ( H ` i ) <-> (/) e. dom ( H ` 1 ) ) )
40	39	rspcev 2789	. . . 4 |- ( ( 1 e. NN0 /\ (/) e. dom ( H ` 1 ) ) -> E. i e. NN0 (/) e. dom ( H ` i ) )
41	14, 36, 40	sylancr 410	. . 3 |- ( ph -> E. i e. NN0 (/) e. dom ( H ` i ) )
42	17	ad3antrrr 483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
43	18	ad3antrrr 483	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> F : om -onto-> A )
44	19	ad3antrrr 483	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
45		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = a -> ( F ` k ) = ( F ` a ) )
46	45	neeq1d 2326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = a -> ( ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> ( F ` a ) =/= ( F ` j ) ) )
47	46	ralbidv 2437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = a -> ( A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. j e. suc n ( F ` a ) =/= ( F ` j ) ) )
48	47	cbvrexv 2655	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> E. a e. om A. j e. suc n ( F ` a ) =/= ( F ` j ) )
49	48	ralbii 2441	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. n e. om E. a e. om A. j e. suc n ( F ` a ) =/= ( F ` j ) )
50	44, 49	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> A. n e. om E. a e. om A. j e. suc n ( F ` a ) =/= ( F ` j ) )
51		simplr 519	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> i e. NN0 )
52	42, 43, 50, 20, 21, 22, 23, 51	ennnfonelemex 11927	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> E. q e. NN0 dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) )
53	42	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
54	43	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> F : om -onto-> A )
55	44	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
56		simplr 519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> q e. NN0 )
57	53, 54, 55, 20, 21, 22, 23, 56	ennnfonelemom 11921	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> dom ( H ` q ) e. om )
58		nnord 4525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( dom ( H ` q ) e. om -> Ord dom ( H ` q ) )
59	57, 58	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> Ord dom ( H ` q ) )
60		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) )
61		ordsucss 4420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord dom ( H ` q ) -> ( dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) -> suc dom ( H ` i ) C_ dom ( H ` q ) ) )
62	59, 60, 61	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> suc dom ( H ` i ) C_ dom ( H ` q ) )
63		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> k e. dom ( H ` i ) )
64	42, 43, 44, 20, 21, 22, 23, 51	ennnfonelemom 11921	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> dom ( H ` i ) e. om )
65		nnsucelsuc 6387	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( dom ( H ` i ) e. om -> ( k e. dom ( H ` i ) <-> suc k e. suc dom ( H ` i ) ) )
66	64, 65	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> ( k e. dom ( H ` i ) <-> suc k e. suc dom ( H ` i ) ) )
67	63, 66	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> suc k e. suc dom ( H ` i ) )
68	67	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> suc k e. suc dom ( H ` i ) )
69	62, 68	sseldd 3098	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) /\ dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) ) -> suc k e. dom ( H ` q ) )
70	69	ex 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) /\ q e. NN0 ) -> ( dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) -> suc k e. dom ( H ` q ) ) )
71	70	reximdva 2534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> ( E. q e. NN0 dom ( H ` i ) e. dom ( H ` q ) -> E. q e. NN0 suc k e. dom ( H ` q ) ) )
72	52, 71	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k e. om ) /\ i e. NN0 ) /\ k e. dom ( H ` i ) ) -> E. q e. NN0 suc k e. dom ( H ` q ) )
73	72	rexlimdva2 2552	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> ( E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) -> E. q e. NN0 suc k e. dom ( H ` q ) ) )
74		fveq2 5421	. . . . . . . . 9 |- ( i = q -> ( H ` i ) = ( H ` q ) )
75	74	dmeqd 4741	. . . . . . . 8 |- ( i = q -> dom ( H ` i ) = dom ( H ` q ) )
76	75	eleq2d 2209	. . . . . . 7 |- ( i = q -> ( suc k e. dom ( H ` i ) <-> suc k e. dom ( H ` q ) ) )
77	76	cbvrexv 2655	. . . . . 6 |- ( E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) <-> E. q e. NN0 suc k e. dom ( H ` q ) )
78	73, 77	syl6ibr 161	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. om ) -> ( E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) -> E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) ) )
79	78	expcom 115	. . . 4 |- ( k e. om -> ( ph -> ( E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) -> E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) ) ) )
80	79	a2d 26	. . 3 |- ( k e. om -> ( ( ph -> E. i e. NN0 k e. dom ( H ` i ) ) -> ( ph -> E. i e. NN0 suc k e. dom ( H ` i ) ) ) )
81	4, 7, 10, 13, 41, 80	finds 4514	. 2 |- ( M e. om -> ( ph -> E. i e. NN0 M e. dom ( H ` i ) ) )
82	1, 81	mpcom 36	1 |- ( ph -> E. i e. NN0 M e. dom ( H ` i ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 819   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   A.wral 2416   E.wrex 2417   u. cun 3069   C_ wss 3071   (/)c0 3363   ifcif 3474   {csn 3527   <.cop 3530   |-> cmpt 3989   Ord word 4284   suc csuc 4287   omcom 4504   `'ccnv 4538   dom cdm 4539   "cima 4542   Fn wfn 5118   -->wf 5119   -onto->wfo 5121   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   e. cmpo 5776  freccfrec 6287   ^pm cpm 6543   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   - cmin 7933   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   seqcseq 10218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pm 6545  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-seqfrec 10219

This theorem is referenced by:  ennnfonelemdm  11933