Theorem isocnv 5712

Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.)

Assertion

Ref	Expression
isocnv	|- ( H Isom R , S ( A , B ) -> `' H Isom S , R ( B , A ) )

Proof of Theorem isocnv

Dummy variables x w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1ocnv 5380	. . . 4 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> `' H : B -1-1-onto-> A )
2	1	adantr 274	. . 3 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> `' H : B -1-1-onto-> A )
3		f1ocnvfv2 5679	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ z e. B ) -> ( H ` ( `' H ` z ) ) = z )
4	3	adantrr 470	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( H ` ( `' H ` z ) ) = z )
5		f1ocnvfv2 5679	. . . . . . . 8 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ w e. B ) -> ( H ` ( `' H ` w ) ) = w )
6	5	adantrl 469	. . . . . . 7 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( H ` ( `' H ` w ) ) = w )
7	4, 6	breq12d 3942	. . . . . 6 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> z S w ) )
8	7	adantlr 468	. . . . 5 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> z S w ) )
9		f1of 5367	. . . . . . 7 |- ( `' H : B -1-1-onto-> A -> `' H : B --> A )
10	1, 9	syl 14	. . . . . 6 |- ( H : A -1-1-onto-> B -> `' H : B --> A )
11		ffvelrn 5553	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' H : B --> A /\ z e. B ) -> ( `' H ` z ) e. A )
12		ffvelrn 5553	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' H : B --> A /\ w e. B ) -> ( `' H ` w ) e. A )
13	11, 12	anim12dan 589	. . . . . . . 8 |- ( ( `' H : B --> A /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( `' H ` z ) e. A /\ ( `' H ` w ) e. A ) )
14		breq1 3932	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( x R y <-> ( `' H ` z ) R y ) )
15		fveq2 5421	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( H ` x ) = ( H ` ( `' H ` z ) ) )
16	15	breq1d 3939	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( ( H ` x ) S ( H ` y ) <-> ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) ) )
17	14, 16	bibi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( ( `' H ` z ) R y <-> ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) ) ) )
18		bicom 139	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' H ` z ) R y <-> ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) ) <-> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) <-> ( `' H ` z ) R y ) )
19	17, 18	syl6bb 195	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( `' H ` z ) -> ( ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) <-> ( `' H ` z ) R y ) ) )
20		fveq2 5421	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( `' H ` w ) -> ( H ` y ) = ( H ` ( `' H ` w ) ) )
21	20	breq2d 3941	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( `' H ` w ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) <-> ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) ) )
22		breq2 3933	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( `' H ` w ) -> ( ( `' H ` z ) R y <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
23	21, 22	bibi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( `' H ` w ) -> ( ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` y ) <-> ( `' H ` z ) R y ) <-> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) ) )
24	19, 23	rspc2va 2803	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( `' H ` z ) e. A /\ ( `' H ` w ) e. A ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
25	13, 24	sylan 281	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' H : B --> A /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
26	25	an32s 557	. . . . . 6 |- ( ( ( `' H : B --> A /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
27	10, 26	sylanl1 399	. . . . 5 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( H ` ( `' H ` z ) ) S ( H ` ( `' H ` w ) ) <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
28	8, 27	bitr3d 189	. . . 4 |- ( ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) /\ ( z e. B /\ w e. B ) ) -> ( z S w <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
29	28	ralrimivva 2514	. . 3 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) )
30	2, 29	jca 304	. 2 |- ( ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) -> ( `' H : B -1-1-onto-> A /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) ) )
31		df-isom 5132	. 2 |- ( H Isom R , S ( A , B ) <-> ( H : A -1-1-onto-> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y <-> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
32		df-isom 5132	. 2 |- ( `' H Isom S , R ( B , A ) <-> ( `' H : B -1-1-onto-> A /\ A. z e. B A. w e. B ( z S w <-> ( `' H ` z ) R ( `' H ` w ) ) ) )
33	30, 31, 32	3imtr4i 200	1 |- ( H Isom R , S ( A , B ) -> `' H Isom S , R ( B , A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   class class class wbr 3929   `'ccnv 4538   -->wf 5119   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123   Isom wiso 5124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132

This theorem is referenced by:  isores1  5715  isose  5722  isopo  5724  isoso  5726  isoti  6894  infrenegsupex  9389  infxrnegsupex  11032