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Theorem isocnv 5479
Description: Converse law for isomorphism. Proposition 6.30(2) of [TakeutiZaring] p. 33. (Contributed by NM, 27-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
isocnv  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  `' H  Isom  S ,  R  ( B ,  A ) )

Proof of Theorem isocnv
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1ocnv 5167 . . . 4  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  `' H : B -1-1-onto-> A )
21adantr 265 . . 3  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  `' H : B -1-1-onto-> A )
3 f1ocnvfv2 5446 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  z  e.  B )  ->  ( H `  ( `' H `  z ) )  =  z )
43adantrr 456 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  ( H `  ( `' H `  z )
)  =  z )
5 f1ocnvfv2 5446 . . . . . . . 8  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  w  e.  B )  ->  ( H `  ( `' H `  w ) )  =  w )
65adantrl 455 . . . . . . 7  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  ( H `  ( `' H `  w )
)  =  w )
74, 6breq12d 3805 . . . . . 6  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  z S w ) )
87adantlr 454 . . . . 5  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  z S w ) )
9 f1of 5154 . . . . . . 7  |-  ( `' H : B -1-1-onto-> A  ->  `' H : B --> A )
101, 9syl 14 . . . . . 6  |-  ( H : A -1-1-onto-> B  ->  `' H : B --> A )
11 ffvelrn 5328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' H : B --> A  /\  z  e.  B )  ->  ( `' H `  z )  e.  A
)
12 ffvelrn 5328 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' H : B --> A  /\  w  e.  B )  ->  ( `' H `  w )  e.  A
)
1311, 12anim12dan 542 . . . . . . . 8  |-  ( ( `' H : B --> A  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B
) )  ->  (
( `' H `  z )  e.  A  /\  ( `' H `  w )  e.  A
) )
14 breq1 3795 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  (
x R y  <->  ( `' H `  z ) R y ) )
15 fveq2 5206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  ( H `  x )  =  ( H `  ( `' H `  z ) ) )
1615breq1d 3802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  (
( H `  x
) S ( H `
 y )  <->  ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `  y
) ) )
1714, 16bibi12d 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  (
( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  <-> 
( ( `' H `  z ) R y  <-> 
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y ) ) ) )
18 bicom 132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' H `  z ) R y  <-> 
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y ) )  <-> 
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y )  <->  ( `' H `  z ) R y ) )
1917, 18syl6bb 189 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( `' H `  z )  ->  (
( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) )  <-> 
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y )  <->  ( `' H `  z ) R y ) ) )
20 fveq2 5206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( `' H `  w )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( `' H `  w ) ) )
2120breq2d 3804 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( `' H `  w )  ->  (
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y )  <->  ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `  ( `' H `  w ) ) ) )
22 breq2 3796 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( `' H `  w )  ->  (
( `' H `  z ) R y  <-> 
( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2321, 22bibi12d 228 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( `' H `  w )  ->  (
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 y )  <->  ( `' H `  z ) R y )  <->  ( ( H `  ( `' H `  z )
) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) ) )
2419, 23rspc2va 2686 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( `' H `  z )  e.  A  /\  ( `' H `  w )  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  (
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2513, 24sylan 271 . . . . . . 7  |-  ( ( ( `' H : B
--> A  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  (
( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2625an32s 510 . . . . . 6  |-  ( ( ( `' H : B
--> A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  /\  (
z  e.  B  /\  w  e.  B )
)  ->  ( ( H `  ( `' H `  z )
) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2710, 26sylanl1 388 . . . . 5  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( H `  ( `' H `  z ) ) S ( H `
 ( `' H `  w ) )  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
288, 27bitr3d 183 . . . 4  |-  ( ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) )  /\  ( z  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( z S w  <-> 
( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
2928ralrimivva 2418 . . 3  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) )
302, 29jca 294 . 2  |-  ( ( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x R y  <->  ( H `  x ) S ( H `  y ) ) )  ->  ( `' H : B -1-1-onto-> A  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  (
z S w  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) ) )
31 df-isom 4939 . 2  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  <-> 
( H : A -1-1-onto-> B  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x R y  <-> 
( H `  x
) S ( H `
 y ) ) ) )
32 df-isom 4939 . 2  |-  ( `' H  Isom  S ,  R  ( B ,  A )  <->  ( `' H : B -1-1-onto-> A  /\  A. z  e.  B  A. w  e.  B  ( z S w  <->  ( `' H `  z ) R ( `' H `  w ) ) ) )
3330, 31, 323imtr4i 194 1  |-  ( H 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  `' H  Isom  S ,  R  ( B ,  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    = wceq 1259    e. wcel 1409   A.wral 2323   class class class wbr 3792   `'ccnv 4372   -->wf 4926   -1-1-onto->wf1o 4929   ` cfv 4930    Isom wiso 4931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-pow 3955  ax-pr 3972
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-sbc 2788  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-id 4058  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-isom 4939
This theorem is referenced by:  isores1  5482  isose  5488  isopo  5490  isoso  5492  isoti  6411
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