ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltdcnq Unicode version

Theorem ltdcnq 6649
Description: Less-than for positive fractions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltdcnq  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  -> DECID  A 
<Q  B )

Proof of Theorem ltdcnq
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 6630 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x E. y ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  ) )
2 nqpi 6630 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
31, 2anim12i 331 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( E. x E. y ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) ) )
4 ee4anv 1851 . . 3  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )  <-> 
( E. x E. y ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) ) )
53, 4sylibr 132 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) ) )
6 mulclpi 6580 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( x  .N  w
)  e.  N. )
7 mulclpi 6580 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( y  .N  z
)  e.  N. )
8 ltdcpi 6575 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .N  w
)  e.  N.  /\  ( y  .N  z
)  e.  N. )  -> DECID  ( x  .N  w ) 
<N  ( y  .N  z
) )
96, 7, 8syl2an 283 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )
)  -> DECID  ( x  .N  w
)  <N  ( y  .N  z ) )
109an42s 554 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  -> DECID  ( x  .N  w
)  <N  ( y  .N  z ) )
11 ordpipqqs 6626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( x  .N  w )  <N  (
y  .N  z ) ) )
1211dcbid 782 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  (DECID  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <-> DECID  ( x  .N  w
)  <N  ( y  .N  z ) ) )
1310, 12mpbird 165 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  -> DECID  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )
1413ad2ant2r 493 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )  -> DECID  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )
15 breq12 3798 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  ( A  <Q  B  <->  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
1615ad2ant2l 492 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )  ->  ( A  <Q  B  <->  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
1716dcbid 782 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )  ->  (DECID  A  <Q  B  <-> DECID  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
1814, 17mpbird 165 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )  -> DECID 
A  <Q  B )
1918exlimivv 1818 . . 3  |-  ( E. z E. w ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )  -> DECID 
A  <Q  B )
2019exlimivv 1818 . 2  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )  -> DECID 
A  <Q  B )
215, 20syl 14 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  -> DECID  A 
<Q  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103  DECID wdc 776    = wceq 1285   E.wex 1422    e. wcel 1434   <.cop 3409   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   [cec 6170   N.cnpi 6524    .N cmi 6526    <N clti 6527    ~Q ceq 6531   Q.cnq 6532    <Q cltq 6537
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-iinf 4337
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-tr 3884  df-eprel 4052  df-id 4056  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-1st 5798  df-2nd 5799  df-recs 5954  df-irdg 6019  df-oadd 6069  df-omul 6070  df-er 6172  df-ec 6174  df-qs 6178  df-ni 6556  df-mi 6558  df-lti 6559  df-enq 6599  df-nqqs 6600  df-ltnqqs 6605
This theorem is referenced by:  distrlem4prl  6836  distrlem4pru  6837
  Copyright terms: Public domain W3C validator