ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltsonq Unicode version

Theorem ltsonq 6554
Description: 'Less than' is a strict ordering on positive fractions. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltsonq  |-  <Q  Or  Q.

Proof of Theorem ltsonq
Dummy variables  a  b  c  d  e  f  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6504 . . . . . 6  |-  Q.  =  ( ( N.  X.  N. ) /.  ~Q  )
2 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  x  ->  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  =  x )
32, 2breq12d 3805 . . . . . . 7  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  x  -> 
( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  <->  x  <Q  x ) )
43notbid 602 . . . . . 6  |-  ( [
<. z ,  w >. ]  ~Q  =  x  -> 
( -.  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  -.  x  <Q  x ) )
5 ltsopi 6476 . . . . . . . 8  |-  <N  Or  N.
6 ltrelpi 6480 . . . . . . . 8  |-  <N  C_  ( N.  X.  N. )
75, 6soirri 4747 . . . . . . 7  |-  -.  (
w  .N  z ) 
<N  ( w  .N  z
)
8 ordpipqqs 6530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  w )  <N  (
w  .N  z ) ) )
98anidms 383 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( z  .N  w )  <N  (
w  .N  z ) ) )
10 mulcompig 6487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( z  .N  w
)  =  ( w  .N  z ) )
1110breq1d 3802 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( ( z  .N  w )  <N  (
w  .N  z )  <-> 
( w  .N  z
)  <N  ( w  .N  z ) ) )
129, 11bitrd 181 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( w  .N  z )  <N  (
w  .N  z ) ) )
137, 12mtbiri 610 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  -.  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <Q  [
<. z ,  w >. ]  ~Q  )
141, 4, 13ecoptocl 6224 . . . . 5  |-  ( x  e.  Q.  ->  -.  x  <Q  x )
1514adantl 266 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  x  e. 
Q. )  ->  -.  x  <Q  x )
16 breq1 3795 . . . . . . . 8  |-  ( [
<. a ,  b >. ]  ~Q  =  x  -> 
( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <->  x  <Q  [
<. c ,  d >. ]  ~Q  ) )
1716anbi1d 446 . . . . . . 7  |-  ( [
<. a ,  b >. ]  ~Q  =  x  -> 
( ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d
>. ]  ~Q  /\  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) 
<->  ( x  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) ) )
18 breq1 3795 . . . . . . 7  |-  ( [
<. a ,  b >. ]  ~Q  =  x  -> 
( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f
>. ]  ~Q  <->  x  <Q  [
<. e ,  f >. ]  ~Q  ) )
1917, 18imbi12d 227 . . . . . 6  |-  ( [
<. a ,  b >. ]  ~Q  =  x  -> 
( ( ( [
<. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  )  ->  [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f
>. ]  ~Q  )  <->  ( (
x  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  )  ->  x  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) ) )
20 breq2 3796 . . . . . . . 8  |-  ( [
<. c ,  d >. ]  ~Q  =  y  -> 
( x  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <->  x 
<Q  y ) )
21 breq1 3795 . . . . . . . 8  |-  ( [
<. c ,  d >. ]  ~Q  =  y  -> 
( [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f
>. ]  ~Q  <->  y  <Q  [
<. e ,  f >. ]  ~Q  ) )
2220, 21anbi12d 450 . . . . . . 7  |-  ( [
<. c ,  d >. ]  ~Q  =  y  -> 
( ( x  <Q  [
<. c ,  d >. ]  ~Q  /\  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f
>. ]  ~Q  )  <->  ( x  <Q  y  /\  y  <Q  [ <. e ,  f
>. ]  ~Q  ) ) )
2322imbi1d 224 . . . . . 6  |-  ( [
<. c ,  d >. ]  ~Q  =  y  -> 
( ( ( x 
<Q  [ <. c ,  d
>. ]  ~Q  /\  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  )  ->  x  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) 
<->  ( ( x  <Q  y  /\  y  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  )  ->  x  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) ) )
24 breq2 3796 . . . . . . . 8  |-  ( [
<. e ,  f >. ]  ~Q  =  z  -> 
( y  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  <->  y 
<Q  z ) )
2524anbi2d 445 . . . . . . 7  |-  ( [
<. e ,  f >. ]  ~Q  =  z  -> 
( ( x  <Q  y  /\  y  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) 
<->  ( x  <Q  y  /\  y  <Q  z ) ) )
26 breq2 3796 . . . . . . 7  |-  ( [
<. e ,  f >. ]  ~Q  =  z  -> 
( x  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  <->  x 
<Q  z ) )
2725, 26imbi12d 227 . . . . . 6  |-  ( [
<. e ,  f >. ]  ~Q  =  z  -> 
( ( ( x 
<Q  y  /\  y  <Q  [ <. e ,  f
>. ]  ~Q  )  ->  x  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) 
<->  ( ( x  <Q  y  /\  y  <Q  z
)  ->  x  <Q  z ) ) )
28 ordpipqqs 6530 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )
)  ->  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <->  ( a  .N  d ) 
<N  ( b  .N  c
) ) )
29283adant3 935 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <->  ( a  .N  d ) 
<N  ( b  .N  c
) ) )
30 simp1l 939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  a  e.  N. )
31 simp2r 942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  d  e.  N. )
32 mulclpi 6484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  N.  /\  d  e.  N. )  ->  ( a  .N  d
)  e.  N. )
3330, 31, 32syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( a  .N  d )  e.  N. )
34 simp1r 940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  b  e.  N. )
35 simp2l 941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  c  e.  N. )
36 mulclpi 6484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( b  e.  N.  /\  c  e.  N. )  ->  ( b  .N  c
)  e.  N. )
3734, 35, 36syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( b  .N  c )  e.  N. )
38 simp3r 944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  f  e.  N. )
39 mulclpi 6484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c  e.  N.  /\  f  e.  N. )  ->  ( c  .N  f
)  e.  N. )
4035, 38, 39syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( c  .N  f )  e.  N. )
41 ltmpig 6495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  .N  d
)  e.  N.  /\  ( b  .N  c
)  e.  N.  /\  ( c  .N  f
)  e.  N. )  ->  ( ( a  .N  d )  <N  (
b  .N  c )  <-> 
( ( c  .N  f )  .N  (
a  .N  d ) )  <N  ( (
c  .N  f )  .N  ( b  .N  c ) ) ) )
4233, 37, 40, 41syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( (
a  .N  d ) 
<N  ( b  .N  c
)  <->  ( ( c  .N  f )  .N  ( a  .N  d
) )  <N  (
( c  .N  f
)  .N  ( b  .N  c ) ) ) )
4329, 42bitrd 181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <->  ( ( c  .N  f
)  .N  ( a  .N  d ) ) 
<N  ( ( c  .N  f )  .N  (
b  .N  c ) ) ) )
4443biimpa 284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d
>. ]  ~Q  )  -> 
( ( c  .N  f )  .N  (
a  .N  d ) )  <N  ( (
c  .N  f )  .N  ( b  .N  c ) ) )
4544adantrr 456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) )  ->  (
( c  .N  f
)  .N  ( a  .N  d ) ) 
<N  ( ( c  .N  f )  .N  (
b  .N  c ) ) )
46 mulcompig 6487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( c  .N  f
)  e.  N.  /\  ( b  .N  c
)  e.  N. )  ->  ( ( c  .N  f )  .N  (
b  .N  c ) )  =  ( ( b  .N  c )  .N  ( c  .N  f ) ) )
4740, 37, 46syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( (
c  .N  f )  .N  ( b  .N  c ) )  =  ( ( b  .N  c )  .N  (
c  .N  f ) ) )
4847adantr 265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) )  ->  (
( c  .N  f
)  .N  ( b  .N  c ) )  =  ( ( b  .N  c )  .N  ( c  .N  f
) ) )
4945, 48breqtrd 3816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) )  ->  (
( c  .N  f
)  .N  ( a  .N  d ) ) 
<N  ( ( b  .N  c )  .N  (
c  .N  f ) ) )
50 ordpipqqs 6530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  <->  ( c  .N  f ) 
<N  ( d  .N  e
) ) )
51503adant1 933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  <->  ( c  .N  f ) 
<N  ( d  .N  e
) ) )
52 simp3l 943 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  e  e.  N. )
53 mulclpi 6484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d  e.  N.  /\  e  e.  N. )  ->  ( d  .N  e
)  e.  N. )
5431, 52, 53syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( d  .N  e )  e.  N. )
55 ltmpig 6495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( c  .N  f
)  e.  N.  /\  ( d  .N  e
)  e.  N.  /\  ( b  .N  c
)  e.  N. )  ->  ( ( c  .N  f )  <N  (
d  .N  e )  <-> 
( ( b  .N  c )  .N  (
c  .N  f ) )  <N  ( (
b  .N  c )  .N  ( d  .N  e ) ) ) )
5640, 54, 37, 55syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( (
c  .N  f ) 
<N  ( d  .N  e
)  <->  ( ( b  .N  c )  .N  ( c  .N  f
) )  <N  (
( b  .N  c
)  .N  ( d  .N  e ) ) ) )
5751, 56bitrd 181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  <->  ( ( b  .N  c
)  .N  ( c  .N  f ) ) 
<N  ( ( b  .N  c )  .N  (
d  .N  e ) ) ) )
5857biimpa 284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f
>. ]  ~Q  )  -> 
( ( b  .N  c )  .N  (
c  .N  f ) )  <N  ( (
b  .N  c )  .N  ( d  .N  e ) ) )
5958adantrl 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) )  ->  (
( b  .N  c
)  .N  ( c  .N  f ) ) 
<N  ( ( b  .N  c )  .N  (
d  .N  e ) ) )
605, 6sotri 4748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( c  .N  f )  .N  (
a  .N  d ) )  <N  ( (
b  .N  c )  .N  ( c  .N  f ) )  /\  ( ( b  .N  c )  .N  (
c  .N  f ) )  <N  ( (
b  .N  c )  .N  ( d  .N  e ) ) )  ->  ( ( c  .N  f )  .N  ( a  .N  d
) )  <N  (
( b  .N  c
)  .N  ( d  .N  e ) ) )
6149, 59, 60syl2anc 397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) )  ->  (
( c  .N  f
)  .N  ( a  .N  d ) ) 
<N  ( ( b  .N  c )  .N  (
d  .N  e ) ) )
62 mulcompig 6487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  =  ( y  .N  x ) )
6362adantl 266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e. 
N. ) )  -> 
( x  .N  y
)  =  ( y  .N  x ) )
64 mulasspig 6488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  (
( x  .N  y
)  .N  z )  =  ( x  .N  ( y  .N  z
) ) )
6564adantl 266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e. 
N.  /\  z  e.  N. ) )  ->  (
( x  .N  y
)  .N  z )  =  ( x  .N  ( y  .N  z
) ) )
66 mulclpi 6484 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  .N  y
)  e.  N. )
6766adantl 266 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( x  e.  N.  /\  y  e. 
N. ) )  -> 
( x  .N  y
)  e.  N. )
6835, 31, 30, 63, 65, 38, 67caov411d 5714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( (
c  .N  d )  .N  ( a  .N  f ) )  =  ( ( a  .N  d )  .N  (
c  .N  f ) ) )
6963, 33, 40caovcomd 5685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( (
a  .N  d )  .N  ( c  .N  f ) )  =  ( ( c  .N  f )  .N  (
a  .N  d ) ) )
7068, 69eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( (
c  .N  d )  .N  ( a  .N  f ) )  =  ( ( c  .N  f )  .N  (
a  .N  d ) ) )
7135, 31, 34, 63, 65, 52, 67caov4d 5713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( (
c  .N  d )  .N  ( b  .N  e ) )  =  ( ( c  .N  b )  .N  (
d  .N  e ) ) )
7263, 35, 34caovcomd 5685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( c  .N  b )  =  ( b  .N  c ) )
7372oveq1d 5555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( (
c  .N  b )  .N  ( d  .N  e ) )  =  ( ( b  .N  c )  .N  (
d  .N  e ) ) )
7471, 73eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( (
c  .N  d )  .N  ( b  .N  e ) )  =  ( ( b  .N  c )  .N  (
d  .N  e ) ) )
7570, 74breq12d 3805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( (
( c  .N  d
)  .N  ( a  .N  f ) ) 
<N  ( ( c  .N  d )  .N  (
b  .N  e ) )  <->  ( ( c  .N  f )  .N  ( a  .N  d
) )  <N  (
( b  .N  c
)  .N  ( d  .N  e ) ) ) )
7675adantr 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) )  ->  (
( ( c  .N  d )  .N  (
a  .N  f ) )  <N  ( (
c  .N  d )  .N  ( b  .N  e ) )  <->  ( (
c  .N  f )  .N  ( a  .N  d ) )  <N 
( ( b  .N  c )  .N  (
d  .N  e ) ) ) )
7761, 76mpbird 160 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) )  ->  (
( c  .N  d
)  .N  ( a  .N  f ) ) 
<N  ( ( c  .N  d )  .N  (
b  .N  e ) ) )
78 mulclpi 6484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e.  N.  /\  f  e.  N. )  ->  ( a  .N  f
)  e.  N. )
7930, 38, 78syl2anc 397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( a  .N  f )  e.  N. )
80 mulclpi 6484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  N.  /\  e  e.  N. )  ->  ( b  .N  e
)  e.  N. )
8134, 52, 80syl2anc 397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( b  .N  e )  e.  N. )
82 mulclpi 6484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  ->  ( c  .N  d
)  e.  N. )
8335, 31, 82syl2anc 397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( c  .N  d )  e.  N. )
84 ltmpig 6495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  .N  f
)  e.  N.  /\  ( b  .N  e
)  e.  N.  /\  ( c  .N  d
)  e.  N. )  ->  ( ( a  .N  f )  <N  (
b  .N  e )  <-> 
( ( c  .N  d )  .N  (
a  .N  f ) )  <N  ( (
c  .N  d )  .N  ( b  .N  e ) ) ) )
8579, 81, 83, 84syl3anc 1146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( (
a  .N  f ) 
<N  ( b  .N  e
)  <->  ( ( c  .N  d )  .N  ( a  .N  f
) )  <N  (
( c  .N  d
)  .N  ( b  .N  e ) ) ) )
8685adantr 265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) )  ->  (
( a  .N  f
)  <N  ( b  .N  e )  <->  ( (
c  .N  d )  .N  ( a  .N  f ) )  <N 
( ( c  .N  d )  .N  (
b  .N  e ) ) ) )
8777, 86mpbird 160 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) )  ->  (
a  .N  f ) 
<N  ( b  .N  e
) )
88 ordpipqqs 6530 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  <->  ( a  .N  f ) 
<N  ( b  .N  e
) ) )
89883adant2 934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  <->  ( a  .N  f ) 
<N  ( b  .N  e
) ) )
9089adantr 265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) )  ->  ( [ <. a ,  b
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  <->  ( a  .N  f ) 
<N  ( b  .N  e
) ) )
9187, 90mpbird 160 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( a  e. 
N.  /\  b  e.  N. )  /\  (
c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  /\  ( [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  ) )  ->  [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f
>. ]  ~Q  )
9291ex 112 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  N.  /\  b  e.  N. )  /\  ( c  e.  N.  /\  d  e.  N. )  /\  ( e  e.  N.  /\  f  e.  N. )
)  ->  ( ( [ <. a ,  b
>. ]  ~Q  <Q  [ <. c ,  d >. ]  ~Q  /\ 
[ <. c ,  d
>. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f >. ]  ~Q  )  ->  [ <. a ,  b >. ]  ~Q  <Q  [ <. e ,  f
>. ]  ~Q  ) )
931, 19, 23, 27, 923ecoptocl 6226 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  (
( x  <Q  y  /\  y  <Q  z )  ->  x  <Q  z
) )
9493adantl 266 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q.  /\  z  e. 
Q. ) )  -> 
( ( x  <Q  y  /\  y  <Q  z
)  ->  x  <Q  z ) )
9515, 94ispod 4069 . . 3  |-  ( T. 
->  <Q  Po  Q. )
96 nqtri3or 6552 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  y  \/  x  =  y  \/  y  <Q  x ) )
9796adantl 266 . . 3  |-  ( ( T.  /\  ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. ) )  -> 
( x  <Q  y  \/  x  =  y  \/  y  <Q  x ) )
9895, 97issod 4084 . 2  |-  ( T. 
->  <Q  Or  Q. )
9998trud 1268 1  |-  <Q  Or  Q.
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    <-> wb 102    \/ w3o 895    /\ w3a 896    = wceq 1259   T. wtru 1260    e. wcel 1409   <.cop 3406   class class class wbr 3792    Or wor 4060  (class class class)co 5540   [cec 6135   N.cnpi 6428    .N cmi 6430    <N clti 6431    ~Q ceq 6435   Q.cnq 6436    <Q cltq 6441
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-mi 6462  df-lti 6463  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-ltnqqs 6509
This theorem is referenced by:  nqtric  6555  lt2addnq  6560  lt2mulnq  6561  ltbtwnnqq  6571  prarloclemarch2  6575  genplt2i  6666  genpdisj  6679  addlocprlemgt  6690  nqprdisj  6700  nqprloc  6701  addnqprlemfl  6715  addnqprlemfu  6716  prmuloclemcalc  6721  mulnqprlemfl  6731  mulnqprlemfu  6732  distrlem4prl  6740  distrlem4pru  6741  ltsopr  6752  ltexprlemopl  6757  ltexprlemopu  6759  ltexprlemdisj  6762  ltexprlemru  6768  recexprlemlol  6782  recexprlemupu  6784  recexprlemdisj  6786  recexprlemss1l  6791  recexprlemss1u  6792  cauappcvgprlemopl  6802  cauappcvgprlemlol  6803  cauappcvgprlemupu  6805  cauappcvgprlemdisj  6807  cauappcvgprlemloc  6808  cauappcvgprlemladdfu  6810  cauappcvgprlemladdru  6812  cauappcvgprlemladdrl  6813  caucvgprlemk  6821  caucvgprlemnkj  6822  caucvgprlemnbj  6823  caucvgprlemm  6824  caucvgprlemopl  6825  caucvgprlemlol  6826  caucvgprlemupu  6828  caucvgprlemloc  6831  caucvgprlemladdfu  6833  caucvgprprlemloccalc  6840  caucvgprprlemml  6850  caucvgprprlemopl  6853
  Copyright terms: Public domain W3C validator