ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0lt10b Unicode version

Theorem nn0lt10b 8509
Description: A nonnegative integer less than  1 is  0. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
nn0lt10b  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  1  <->  N  = 
0 ) )

Proof of Theorem nn0lt10b
StepHypRef Expression
1 nn0re 8364 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
2 0re 7181 . . . 4  |-  0  e.  RR
3 letri3 7259 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( N  =  0  <-> 
( N  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
42, 3mpan2 416 . . 3  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  =  0  <->  ( N  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
51, 4syl 14 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  =  0  <->  ( N  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
6 nn0ge0 8380 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
76biantrud 298 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  0  <->  ( N  <_  0  /\  0  <_  N ) ) )
8 nn0z 8452 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
9 0z 8443 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
10 zleltp1 8487 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  0  <->  N  <  ( 0  +  1 ) ) )
119, 10mpan2 416 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  <_  0  <->  N  <  ( 0  +  1 ) ) )
12 0p1e1 8220 . . . . 5  |-  ( 0  +  1 )  =  1
1312breq2i 3801 . . . 4  |-  ( N  <  ( 0  +  1 )  <->  N  <  1 )
1411, 13syl6bb 194 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  <_  0  <->  N  <  1 ) )
158, 14syl 14 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <_  0  <->  N  <  1 ) )
165, 7, 153bitr2rd 215 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  <  1  <->  N  = 
0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1285    e. wcel 1434   class class class wbr 3793  (class class class)co 5543   RRcr 7042   0cc0 7043   1c1 7044    + caddc 7046    < clt 7215    <_ cle 7216   NN0cn0 8355   ZZcz 8432
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-setind 4288  ax-cnex 7129  ax-resscn 7130  ax-1cn 7131  ax-1re 7132  ax-icn 7133  ax-addcl 7134  ax-addrcl 7135  ax-mulcl 7136  ax-addcom 7138  ax-addass 7140  ax-distr 7142  ax-i2m1 7143  ax-0lt1 7144  ax-0id 7146  ax-rnegex 7147  ax-cnre 7149  ax-pre-ltirr 7150  ax-pre-ltwlin 7151  ax-pre-lttrn 7152  ax-pre-apti 7153  ax-pre-ltadd 7154
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ne 2247  df-nel 2341  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-br 3794  df-opab 3848  df-id 4056  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fv 4940  df-riota 5499  df-ov 5546  df-oprab 5547  df-mpt2 5548  df-pnf 7217  df-mnf 7218  df-xr 7219  df-ltxr 7220  df-le 7221  df-sub 7348  df-neg 7349  df-inn 8107  df-n0 8356  df-z 8433
This theorem is referenced by:  nn0lt2  8510  fz1n  9139
  Copyright terms: Public domain W3C validator