Theorem oddge22np1 11578

Description: An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddge22np1	|- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem oddge22np1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2202	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
2		nn0z 9074	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. NN0 -> n e. ZZ )
3	2	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> n e. ZZ )
4		eluz2 9332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ZZ /\ 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
5		2re 8790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 2 e. RR
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> 2 e. RR )
7		1red 7781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> 1 e. RR )
8		2nn0 8994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. NN0
9	8	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> 2 e. NN0 )
10		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> n e. NN0 )
11	9, 10	nn0mulcld 9035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> ( 2 x. n ) e. NN0 )
12	11	nn0red 9031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( 2 x. n ) e. RR )
13	6, 7, 12	lesubaddd 8304	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN0 -> ( ( 2 - 1 ) <_ ( 2 x. n ) <-> 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
14		2m1e1 8838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 2 - 1 ) = 1
15	14	breq1i 3936	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 2 - 1 ) <_ ( 2 x. n ) <-> 1 <_ ( 2 x. n ) )
16		nn0re 8986	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> n e. RR )
17		2pos 8811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 < 2
18	5, 17	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. RR /\ 0 < 2 )
19	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) )
20		ledivmul 8635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 1 e. RR /\ n e. RR /\ ( 2 e. RR /\ 0 < 2 ) ) -> ( ( 1 / 2 ) <_ n <-> 1 <_ ( 2 x. n ) ) )
21	7, 16, 19, 20	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> ( ( 1 / 2 ) <_ n <-> 1 <_ ( 2 x. n ) ) )
22		halfgt0 8935	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 < ( 1 / 2 )
23		0red 7767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN0 -> 0 e. RR )
24		halfre 8933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 / 2 ) e. RR
25	24	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN0 -> ( 1 / 2 ) e. RR )
26		ltletr 7853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / 2 ) e. RR /\ n e. RR ) -> ( ( 0 < ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ n ) -> 0 < n ) )
27	23, 25, 16, 26	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n e. NN0 -> ( ( 0 < ( 1 / 2 ) /\ ( 1 / 2 ) <_ n ) -> 0 < n ) )
28	22, 27	mpani 426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 -> ( ( 1 / 2 ) <_ n -> 0 < n ) )
29	21, 28	sylbird 169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( 1 <_ ( 2 x. n ) -> 0 < n ) )
30	15, 29	syl5bi 151	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN0 -> ( ( 2 - 1 ) <_ ( 2 x. n ) -> 0 < n ) )
31	13, 30	sylbird 169	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN0 -> ( 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> 0 < n ) )
32	31	com12 30	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> ( n e. NN0 -> 0 < n ) )
33	32	3ad2ant3 1004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 2 e. ZZ /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ZZ /\ 2 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) -> ( n e. NN0 -> 0 < n ) )
34	4, 33	sylbi 120	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( n e. NN0 -> 0 < n ) )
35	34	imp 123	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> 0 < n )
36		elnnz 9064	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN <-> ( n e. ZZ /\ 0 < n ) )
37	3, 35, 36	sylanbrc 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> n e. NN )
38	37	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( n e. NN0 -> n e. NN ) )
39	1, 38	syl6bir 163	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( n e. NN0 -> n e. NN ) ) )
40	39	com13 80	. . . . . 6 |- ( n e. NN0 -> ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> n e. NN ) ) )
41	40	impcom 124	. . . . 5 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> n e. NN ) )
42	41	pm4.71rd 391	. . . 4 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
43	42	bicomd 140	. . 3 |- ( ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
44	43	rexbidva 2434	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( E. n e. NN0 ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
45		nnssnn0 8980	. . 3 |- NN C_ NN0
46		rexss 3164	. . 3 |- ( NN C_ NN0 -> ( E. n e. NN ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> E. n e. NN0 ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
47	45, 46	mp1i 10	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( E. n e. NN ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> E. n e. NN0 ( n e. NN /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
48		eluzge2nn0 9365	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN0 )
49		oddnn02np1 11577	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
50	48, 49	syl 14	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
51	44, 47, 50	3bitr4rd 220	1 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 962   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2417   C_ wss 3071   class class class wbr 3929   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   RRcr 7619   0cc0 7620   1c1 7621   + caddc 7623   x. cmul 7625   < clt 7800   <_ cle 7801   - cmin 7933   / cdiv 8432   NNcn 8720   2c2 8771   NN0cn0 8977   ZZcz 9054   ZZ>=cuz 9326   || cdvds 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-xor 1354  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-dvds 11494

This theorem is referenced by: (None)