ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddge22np1 GIF version

Theorem oddge22np1 10193
Description: An integer greater than one is odd iff it is one plus twice a positive integer. (Contributed by AV, 16-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
oddge22np1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem oddge22np1
StepHypRef Expression
1 eleq1 2116 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
2 nn0z 8322 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
32adantl 266 . . . . . . . . . 10 ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
4 eluz2 8575 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
5 2re 8060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
65a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
7 1red 7100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
8 2nn0 8256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℕ0
98a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
10 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
119, 10nn0mulcld 8297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
1211nn0red 8293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
136, 7, 12lesubaddd 7607 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) ↔ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)))
14 2m1e1 8107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 − 1) = 1
1514breq1i 3799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛))
16 nn0re 8248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
17 2pos 8081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 2
185, 17pm3.2i 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
1918a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
20 ledivmul 7918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 / 2) ≤ 𝑛 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛)))
217, 16, 19, 20syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1 / 2) ≤ 𝑛 ↔ 1 ≤ (2 · 𝑛)))
22 halfgt0 8197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < (1 / 2)
23 0red 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℝ)
24 halfre 8195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1 / 2) ∈ ℝ
2524a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 / 2) ∈ ℝ)
26 ltletr 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → ((0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑛) → 0 < 𝑛))
2723, 25, 16, 26syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((0 < (1 / 2) ∧ (1 / 2) ≤ 𝑛) → 0 < 𝑛))
2822, 27mpani 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((1 / 2) ≤ 𝑛 → 0 < 𝑛))
2921, 28sylbird 163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (1 ≤ (2 · 𝑛) → 0 < 𝑛))
3015, 29syl5bi 145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((2 − 1) ≤ (2 · 𝑛) → 0 < 𝑛))
3113, 30sylbird 163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → 0 < 𝑛))
3231com12 30 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
33323ad2ant3 938 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ≤ ((2 · 𝑛) + 1)) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
344, 33sylbi 118 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑛))
3534imp 119 . . . . . . . . . 10 ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑛)
36 elnnz 8312 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ ↔ (𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑛))
373, 35, 36sylanbrc 402 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ)
3837ex 112 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) ∈ (ℤ‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ))
391, 38syl6bir 157 . . . . . . 7 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ)))
4039com13 78 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁𝑛 ∈ ℕ)))
4140impcom 120 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁𝑛 ∈ ℕ))
4241pm4.71rd 380 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
4342bicomd 133 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
4443rexbidva 2340 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
45 nnssnn0 8242 . . 3 ℕ ⊆ ℕ0
46 rexss 3035 . . 3 (ℕ ⊆ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
4745, 46mp1i 10 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)))
48 eluzge2nn0 8608 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
49 oddnn02np1 10192 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
5048, 49syl 14 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ0 ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
5144, 47, 503bitr4rd 214 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  wrex 2324  wss 2945   class class class wbr 3792  cfv 4930  (class class class)co 5540  cr 6946  0cc0 6947  1c1 6948   + caddc 6950   · cmul 6952   < clt 7119  cle 7120  cmin 7245   / cdiv 7725  cn 7990  2c2 8040  0cn0 8239  cz 8302  cuz 8569  cdvds 10108
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3900  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290  ax-iinf 4339  ax-cnex 7033  ax-resscn 7034  ax-1cn 7035  ax-1re 7036  ax-icn 7037  ax-addcl 7038  ax-addrcl 7039  ax-mulcl 7040  ax-mulrcl 7041  ax-addcom 7042  ax-mulcom 7043  ax-addass 7044  ax-mulass 7045  ax-distr 7046  ax-i2m1 7047  ax-1rid 7049  ax-0id 7050  ax-rnegex 7051  ax-precex 7052  ax-cnre 7053  ax-pre-ltirr 7054  ax-pre-ltwlin 7055  ax-pre-lttrn 7056  ax-pre-apti 7057  ax-pre-ltadd 7058  ax-pre-mulgt0 7059  ax-pre-mulext 7060
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-xor 1283  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2788  df-csb 2881  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-int 3644  df-iun 3687  df-br 3793  df-opab 3847  df-mpt 3848  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-id 4058  df-po 4061  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136  df-iom 4342  df-xp 4379  df-rel 4380  df-cnv 4381  df-co 4382  df-dm 4383  df-rn 4384  df-res 4385  df-ima 4386  df-iota 4895  df-fun 4932  df-fn 4933  df-f 4934  df-f1 4935  df-fo 4936  df-f1o 4937  df-fv 4938  df-riota 5496  df-ov 5543  df-oprab 5544  df-mpt2 5545  df-1st 5795  df-2nd 5796  df-recs 5951  df-irdg 5988  df-1o 6032  df-2o 6033  df-oadd 6036  df-omul 6037  df-er 6137  df-ec 6139  df-qs 6143  df-ni 6460  df-pli 6461  df-mi 6462  df-lti 6463  df-plpq 6500  df-mpq 6501  df-enq 6503  df-nqqs 6504  df-plqqs 6505  df-mqqs 6506  df-1nqqs 6507  df-rq 6508  df-ltnqqs 6509  df-enq0 6580  df-nq0 6581  df-0nq0 6582  df-plq0 6583  df-mq0 6584  df-inp 6622  df-i1p 6623  df-iplp 6624  df-iltp 6626  df-enr 6869  df-nr 6870  df-ltr 6873  df-0r 6874  df-1r 6875  df-0 6954  df-1 6955  df-r 6957  df-lt 6960  df-pnf 7121  df-mnf 7122  df-xr 7123  df-ltxr 7124  df-le 7125  df-sub 7247  df-neg 7248  df-reap 7640  df-ap 7647  df-div 7726  df-inn 7991  df-2 8049  df-n0 8240  df-z 8303  df-uz 8570  df-dvds 10109
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator