ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordtriexmidlem Unicode version

Theorem ordtriexmidlem 4271
Description: Lemma for decidability and ordinals. The set  { x  e.  { (/)
}  |  ph } is a way of connecting statements about ordinals (such as trichotomy in ordtriexmid 4273 or weak linearity in ordsoexmid 4313) with a proposition  ph. Our lemma states that it is an ordinal number. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2019.)
Assertion
Ref Expression
ordtriexmidlem  |-  { x  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On

Proof of Theorem ordtriexmidlem
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 107 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  ->  y  e.  z )
2 elrabi 2747 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { x  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  z  e.  { (/)
} )
3 velsn 3423 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  { (/) }  <->  z  =  (/) )
42, 3sylib 120 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { x  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  z  =  (/) )
5 noel 3262 . . . . . . . . 9  |-  -.  y  e.  (/)
6 eleq2 2143 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  (/)  ->  ( y  e.  z  <->  y  e.  (/) ) )
75, 6mtbiri 633 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  (/)  ->  -.  y  e.  z )
84, 7syl 14 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  { x  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  -.  y  e.  z )
98adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  ->  -.  y  e.  z )
101, 9pm2.21dd 583 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  z  /\  z  e.  { x  e.  { (/) }  |  ph } )  ->  y  e.  { x  e.  { (/)
}  |  ph }
)
1110gen2 1380 . . . 4  |-  A. y A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  { x  e.  { (/)
}  |  ph }
)  ->  y  e.  { x  e.  { (/) }  |  ph } )
12 dftr2 3885 . . . 4  |-  ( Tr 
{ x  e.  { (/)
}  |  ph }  <->  A. y A. z ( ( y  e.  z  /\  z  e.  {
x  e.  { (/) }  |  ph } )  ->  y  e.  {
x  e.  { (/) }  |  ph } ) )
1311, 12mpbir 144 . . 3  |-  Tr  {
x  e.  { (/) }  |  ph }
14 ssrab2 3080 . . 3  |-  { x  e.  { (/) }  |  ph }  C_  { (/) }
15 ord0 4154 . . . . 5  |-  Ord  (/)
16 ordsucim 4252 . . . . 5  |-  ( Ord  (/)  ->  Ord  suc  (/) )
1715, 16ax-mp 7 . . . 4  |-  Ord  suc  (/)
18 suc0 4174 . . . . 5  |-  suc  (/)  =  { (/)
}
19 ordeq 4135 . . . . 5  |-  ( suc  (/)  =  { (/) }  ->  ( Ord  suc  (/)  <->  Ord  { (/) } ) )
2018, 19ax-mp 7 . . . 4  |-  ( Ord 
suc  (/)  <->  Ord  { (/) } )
2117, 20mpbi 143 . . 3  |-  Ord  { (/)
}
22 trssord 4143 . . 3  |-  ( ( Tr  { x  e. 
{ (/) }  |  ph }  /\  { x  e. 
{ (/) }  |  ph }  C_  { (/) }  /\  Ord  { (/) } )  ->  Ord  { x  e.  { (/)
}  |  ph }
)
2313, 14, 21, 22mp3an 1269 . 2  |-  Ord  {
x  e.  { (/) }  |  ph }
24 p0ex 3967 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
2524rabex 3930 . . 3  |-  { x  e.  { (/) }  |  ph }  e.  _V
2625elon 4137 . 2  |-  ( { x  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On 
<->  Ord  { x  e. 
{ (/) }  |  ph } )
2723, 26mpbir 144 1  |-  { x  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wal 1283    = wceq 1285    e. wcel 1434   {crab 2353    C_ wss 2974   (/)c0 3258   {csn 3406   Tr wtr 3883   Ord word 4125   Oncon0 4126   suc csuc 4128
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-uni 3610  df-tr 3884  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134
This theorem is referenced by:  ordtriexmid  4273  ordtri2orexmid  4274  ontr2exmid  4276  onsucsssucexmid  4278  ordsoexmid  4313  0elsucexmid  4316  ordpwsucexmid  4321  unfiexmid  6438
  Copyright terms: Public domain W3C validator