Theorem ordtriexmidlem 4271

Description: Lemma for decidability and ordinals. The set { x e. { (/) } | ph } is a way of connecting statements about ordinals (such as trichotomy in ordtriexmid 4273 or weak linearity in ordsoexmid 4313) with a proposition ph. Our lemma states that it is an ordinal number. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ordtriexmidlem	|- { x e. { (/) } | ph } e. On

Proof of Theorem ordtriexmidlem

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 107	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. z )
2		elrabi 2747	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { x e. { (/) } | ph } -> z e. { (/) } )
3		velsn 3423	. . . . . . . . 9 |- ( z e. { (/) } <-> z = (/) )
4	2, 3	sylib 120	. . . . . . . 8 |- ( z e. { x e. { (/) } | ph } -> z = (/) )
5		noel 3262	. . . . . . . . 9 |- -. y e. (/)
6		eleq2 2143	. . . . . . . . 9 |- ( z = (/) -> ( y e. z <-> y e. (/) ) )
7	5, 6	mtbiri 633	. . . . . . . 8 |- ( z = (/) -> -. y e. z )
8	4, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( z e. { x e. { (/) } | ph } -> -. y e. z )
9	8	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> -. y e. z )
10	1, 9	pm2.21dd 583	. . . . 5 |- ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) } | ph } )
11	10	gen2 1380	. . . 4 |- A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) } | ph } )
12		dftr2 3885	. . . 4 |- ( Tr { x e. { (/) } | ph } <-> A. y A. z ( ( y e. z /\ z e. { x e. { (/) } | ph } ) -> y e. { x e. { (/) } | ph } ) )
13	11, 12	mpbir 144	. . 3 |- Tr { x e. { (/) } | ph }
14		ssrab2 3080	. . 3 |- { x e. { (/) } | ph } C_ { (/) }
15		ord0 4154	. . . . 5 |- Ord (/)
16		ordsucim 4252	. . . . 5 |- ( Ord (/) -> Ord suc (/) )
17	15, 16	ax-mp 7	. . . 4 |- Ord suc (/)
18		suc0 4174	. . . . 5 |- suc (/) = { (/) }
19		ordeq 4135	. . . . 5 |- ( suc (/) = { (/) } -> ( Ord suc (/) <-> Ord { (/) } ) )
20	18, 19	ax-mp 7	. . . 4 |- ( Ord suc (/) <-> Ord { (/) } )
21	17, 20	mpbi 143	. . 3 |- Ord { (/) }
22		trssord 4143	. . 3 |- ( ( Tr { x e. { (/) } | ph } /\ { x e. { (/) } | ph } C_ { (/) } /\ Ord { (/) } ) -> Ord { x e. { (/) } | ph } )
23	13, 14, 21, 22	mp3an 1269	. 2 |- Ord { x e. { (/) } | ph }
24		p0ex 3967	. . . 4 |- { (/) } e. _V
25	24	rabex 3930	. . 3 |- { x e. { (/) } | ph } e. _V
26	25	elon 4137	. 2 |- ( { x e. { (/) } | ph } e. On <-> Ord { x e. { (/) } | ph } )
27	23, 26	mpbir 144	1 |- { x e. { (/) } | ph } e. On

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1283   = wceq 1285   e. wcel 1434   {crab 2353   C_ wss 2974   (/)c0 3258   {csn 3406   Tr wtr 3883   Ord word 4125   Oncon0 4126   suc csuc 4128

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-sep 3904  ax-nul 3912  ax-pow 3956

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-rab 2358  df-v 2604  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-nul 3259  df-pw 3392  df-sn 3412  df-uni 3610  df-tr 3884  df-iord 4129  df-on 4131  df-suc 4134

This theorem is referenced by:  ordtriexmid  4273  ordtri2orexmid  4274  ontr2exmid  4276  onsucsssucexmid  4278  ordsoexmid  4313  0elsucexmid  4316  ordpwsucexmid  4321  unfiexmid  6438