Theorem rspcv 2785

Description: Restricted specialization, using implicit substitution. (Contributed by NM, 26-May-1998.)

Hypothesis

Ref	Expression
rspcv.1	|- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
rspcv	|- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   ps, x

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem rspcv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1508	. 2 |- F/ x ps
2		rspcv.1	. 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ps ) )
3	1, 2	rspc 2783	1 |- ( A e. B -> ( A. x e. B ph -> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-v 2688

This theorem is referenced by:  rspccv  2786  rspcva  2787  rspccva  2788  rspcdva  2794  rspc3v  2805  rr19.3v  2823  rr19.28v  2824  rspsbc  2991  intmin  3791  ralxfrALT  4388  ontr2exmid  4440  reg2exmidlema  4449  0elsucexmid  4480  funcnvuni  5192  acexmidlemcase  5769  tfrlem1  6205  tfrlem9  6216  oawordriexmid  6366  nneneq  6751  diffitest  6781  xpfi  6818  ordiso2  6920  prnmaxl  7296  prnminu  7297  cauappcvgprlemm  7453  cauappcvgprlemladdru  7464  cauappcvgprlemladdrl  7465  caucvgsrlemcl  7597  caucvgsrlemfv  7599  caucvgsr  7610  axcaucvglemres  7707  lbreu  8703  nnsub  8759  supinfneg  9390  infsupneg  9391  ublbneg  9405  fzrevral  9885  seq3caopr3  10254  seq3id3  10280  recan  10881  cau3lem  10886  caubnd2  10889  climshftlemg  11071  subcn2  11080  climcau  11116  serf0  11121  sumdc  11127  isumrpcl  11263  clim2prod  11308  prodmodclem2  11346  ndvdssub  11627  zsupcllemex  11639  dfgcd3  11698  dfgcd2  11702  coprmgcdb  11769  coprmdvds1  11772  nprm  11804  dvdsprm  11817  coprm  11822  sqrt2irr  11840  cnpnei  12388  lmss  12415  txlm  12448  psmet0  12496  metss  12663  metcnp3  12680  mulc1cncf  12745  cncfco  12747  bj-indsuc  13126  bj-inf2vnlem2  13169