ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ordsoexmid Unicode version

Theorem ordsoexmid 4314
Description: Weak linearity of ordinals implies the law of the excluded middle (that is, decidability of an arbitrary proposition). (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jan-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
ordsoexmid.1  |-  _E  Or  On
Assertion
Ref Expression
ordsoexmid  |-  ( ph  \/  -.  ph )

Proof of Theorem ordsoexmid
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordtriexmidlem 4273 . . . . 5  |-  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On
21elexi 2584 . . . 4  |-  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  _V
32sucid 4182 . . 3  |-  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }
41onsuci 4270 . . . 4  |-  suc  {
w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On
5 suc0 4176 . . . . 5  |-  suc  (/)  =  { (/)
}
6 0elon 4157 . . . . . 6  |-  (/)  e.  On
76onsuci 4270 . . . . 5  |-  suc  (/)  e.  On
85, 7eqeltrri 2127 . . . 4  |-  { (/) }  e.  On
9 eleq1 2116 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( x  e.  On  <->  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  On ) )
1093anbi1d 1222 . . . . . 6  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( x  e.  On  /\  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On  /\  { (/) }  e.  On )  <->  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On  /\  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On  /\  { (/) }  e.  On ) ) )
11 eleq1 2116 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( x  e. 
suc  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  <->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  suc  { w  e.  { (/)
}  |  ph }
) )
12 eleq1 2116 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( x  e. 
{ (/) }  <->  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  { (/) } ) )
1312orbi1d 715 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( x  e.  { (/) }  \/  {
(/) }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph } )  <-> 
( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  { (/) }  \/  {
(/) }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph } ) ) )
1411, 13imbi12d 227 . . . . . 6  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( x  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( x  e. 
{ (/) }  \/  { (/)
}  e.  suc  {
w  e.  { (/) }  |  ph } ) )  <->  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  { (/) }  \/  {
(/) }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph } ) ) ) )
1510, 14imbi12d 227 . . . . 5  |-  ( x  =  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( ( ( x  e.  On  /\  suc  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  On  /\  { (/) }  e.  On )  -> 
( x  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( x  e.  { (/) }  \/  { (/) }  e.  suc  { w  e.  { (/)
}  |  ph }
) ) )  <->  ( ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On  /\  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On  /\  { (/)
}  e.  On )  ->  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  { (/) }  \/  {
(/) }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph } ) ) ) ) )
164elexi 2584 . . . . . 6  |-  suc  {
w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  _V
17 eleq1 2116 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( y  e.  On  <->  suc  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  On )
)
18173anbi2d 1223 . . . . . . 7  |-  ( y  =  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  { (/) }  e.  On )  <->  ( x  e.  On  /\  suc  {
w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On  /\  { (/) }  e.  On ) ) )
19 eleq2 2117 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( x  e.  y  <->  x  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph } ) )
20 eleq2 2117 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( { (/) }  e.  y  <->  { (/) }  e.  suc  { w  e.  { (/)
}  |  ph }
) )
2120orbi2d 714 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( ( x  e.  { (/) }  \/  {
(/) }  e.  y
)  <->  ( x  e. 
{ (/) }  \/  { (/)
}  e.  suc  {
w  e.  { (/) }  |  ph } ) ) )
2219, 21imbi12d 227 . . . . . . 7  |-  ( y  =  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( ( x  e.  y  ->  (
x  e.  { (/) }  \/  { (/) }  e.  y ) )  <->  ( x  e.  suc  { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  ->  ( x  e. 
{ (/) }  \/  { (/)
}  e.  suc  {
w  e.  { (/) }  |  ph } ) ) ) )
2318, 22imbi12d 227 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  { (/)
}  e.  On )  ->  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  { (/) }  \/  { (/)
}  e.  y ) ) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  suc  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  On  /\  { (/) }  e.  On )  -> 
( x  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( x  e.  { (/) }  \/  { (/) }  e.  suc  { w  e.  { (/)
}  |  ph }
) ) ) ) )
24 p0ex 3967 . . . . . . 7  |-  { (/) }  e.  _V
25 eleq1 2116 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( z  e.  On  <->  { (/) }  e.  On ) )
26253anbi3d 1224 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  z  e.  On )  <->  ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  { (/)
}  e.  On ) ) )
27 eleq2 2117 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( x  e.  z  <->  x  e.  {
(/) } ) )
28 eleq1 2116 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( z  e.  y  <->  { (/) }  e.  y ) )
2927, 28orbi12d 717 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( ( x  e.  z  \/  z  e.  y )  <->  ( x  e. 
{ (/) }  \/  { (/)
}  e.  y ) ) )
3029imbi2d 223 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( ( x  e.  y  ->  ( x  e.  z  \/  z  e.  y ) )  <->  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  { (/) }  \/  {
(/) }  e.  y
) ) ) )
3126, 30imbi12d 227 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { (/) }  ->  ( ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  (
x  e.  y  -> 
( x  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )  <->  ( (
x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  { (/)
}  e.  On )  ->  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  { (/) }  \/  { (/)
}  e.  y ) ) ) ) )
32 ordsoexmid.1 . . . . . . . . . . 11  |-  _E  Or  On
33 df-iso 4062 . . . . . . . . . . 11  |-  (  _E  Or  On  <->  (  _E  Po  On  /\  A. x  e.  On  A. y  e.  On  A. z  e.  On  ( x  _E  y  ->  ( x  _E  z  \/  z  _E  y ) ) ) )
3432, 33mpbi 137 . . . . . . . . . 10  |-  (  _E  Po  On  /\  A. x  e.  On  A. y  e.  On  A. z  e.  On  ( x  _E  y  ->  ( x  _E  z  \/  z  _E  y ) ) )
3534simpri 110 . . . . . . . . 9  |-  A. x  e.  On  A. y  e.  On  A. z  e.  On  ( x  _E  y  ->  ( x  _E  z  \/  z  _E  y ) )
36 epel 4057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  _E  y  <->  x  e.  y )
37 epel 4057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  _E  z  <->  x  e.  z )
38 epel 4057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  _E  y  <->  z  e.  y )
3937, 38orbi12i 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  _E  z  \/  z  _E  y )  <-> 
( x  e.  z  \/  z  e.  y ) )
4036, 39imbi12i 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  _E  y  -> 
( x  _E  z  \/  z  _E  y
) )  <->  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
41402ralbii 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y  e.  On  A. z  e.  On  ( x  _E  y  ->  ( x  _E  z  \/  z  _E  y ) )  <->  A. y  e.  On  A. z  e.  On  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
4241ralbii 2347 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  On  A. y  e.  On  A. z  e.  On  ( x  _E  y  ->  ( x  _E  z  \/  z  _E  y ) )  <->  A. x  e.  On  A. y  e.  On  A. z  e.  On  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
4335, 42mpbi 137 . . . . . . . 8  |-  A. x  e.  On  A. y  e.  On  A. z  e.  On  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  z  \/  z  e.  y ) )
4443rspec3 2426 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  z  e.  On )  ->  (
x  e.  y  -> 
( x  e.  z  \/  z  e.  y ) ) )
4524, 31, 44vtocl 2625 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On  /\  { (/)
}  e.  On )  ->  ( x  e.  y  ->  ( x  e.  { (/) }  \/  { (/)
}  e.  y ) ) )
4616, 23, 45vtocl 2625 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  On  /\  suc  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  On  /\  { (/) }  e.  On )  -> 
( x  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( x  e.  { (/) }  \/  { (/) }  e.  suc  { w  e.  { (/)
}  |  ph }
) ) )
472, 15, 46vtocl 2625 . . . 4  |-  ( ( { w  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  On  /\  suc  {
w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  On  /\  { (/) }  e.  On )  ->  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  suc  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  ->  ( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  { (/) }  \/  {
(/) }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph } ) ) )
481, 4, 8, 47mp3an 1243 . . 3  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  suc  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  ->  ( { w  e. 
{ (/) }  |  ph }  e.  { (/) }  \/  {
(/) }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph } ) )
492elsn 3419 . . . . 5  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  {
(/) }  <->  { w  e.  { (/)
}  |  ph }  =  (/) )
50 ordtriexmidlem2 4274 . . . . 5  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  =  (/) 
->  -.  ph )
5149, 50sylbi 118 . . . 4  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  e.  {
(/) }  ->  -.  ph )
52 elirr 4294 . . . . . . 7  |-  -.  { (/)
}  e.  { (/) }
53 elrabi 2718 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) }  e.  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  { (/) }  e.  {
(/) } )
5452, 53mto 598 . . . . . 6  |-  -.  { (/)
}  e.  { w  e.  { (/) }  |  ph }
55 elsuci 4168 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( { (/) }  e.  {
w  e.  { (/) }  |  ph }  \/  {
(/) }  =  {
w  e.  { (/) }  |  ph } ) )
5655ord 653 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ( -.  { (/) }  e.  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  {
(/) }  =  {
w  e.  { (/) }  |  ph } ) )
5754, 56mpi 15 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  {
(/) }  =  {
w  e.  { (/) }  |  ph } )
58 0ex 3912 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
59 biidd 165 . . . . . . 7  |-  ( w  =  (/)  ->  ( ph  <->  ph ) )
6058, 59rabsnt 3473 . . . . . 6  |-  ( { w  e.  { (/) }  |  ph }  =  { (/) }  ->  ph )
6160eqcoms 2059 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  =  {
w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ph )
6257, 61syl 14 . . . 4  |-  ( {
(/) }  e.  suc  { w  e.  { (/) }  |  ph }  ->  ph )
6351, 62orim12i 686 . . 3  |-  ( ( { w  e.  { (/)
}  |  ph }  e.  { (/) }  \/  { (/)
}  e.  suc  {
w  e.  { (/) }  |  ph } )  ->  ( -.  ph  \/  ph ) )
643, 48, 63mp2b 8 . 2  |-  ( -. 
ph  \/  ph )
65 orcom 657 . 2  |-  ( ( -.  ph  \/  ph )  <->  (
ph  \/  -.  ph )
)
6664, 65mpbi 137 1  |-  ( ph  \/  -.  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 101    \/ wo 639    /\ w3a 896    = wceq 1259    e. wcel 1409   A.wral 2323   {crab 2327   (/)c0 3252   {csn 3403   class class class wbr 3792    _E cep 4052    Po wpo 4059    Or wor 4060   Oncon0 4128   suc csuc 4130
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3903  ax-nul 3911  ax-pow 3955  ax-pr 3972  ax-un 4198  ax-setind 4290
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-dif 2948  df-un 2950  df-in 2952  df-ss 2959  df-nul 3253  df-pw 3389  df-sn 3409  df-pr 3410  df-op 3412  df-uni 3609  df-br 3793  df-opab 3847  df-tr 3883  df-eprel 4054  df-iso 4062  df-iord 4131  df-on 4133  df-suc 4136
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator