Theorem prcunqu 6737

Description: An upper cut is closed upwards under the positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
prcunqu	|- ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q B -> B e. U ) )

Proof of Theorem prcunqu

Dummy variables b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 6617	. . . . . 6 |- <Q C_ ( Q. X. Q. )
2	1	brel 4418	. . . . 5 |- ( C <Q B -> ( C e. Q. /\ B e. Q. ) )
3	2	simprd 112	. . . 4 |- ( C <Q B -> B e. Q. )
4	3	adantl 271	. . 3 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) /\ C <Q B ) -> B e. Q. )
5		breq2 3797	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( C <Q b <-> C <Q B ) )
6		eleq1 2142	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( b e. U <-> B e. U ) )
7	5, 6	imbi12d 232	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( ( C <Q b -> b e. U ) <-> ( C <Q B -> B e. U ) ) )
8	7	imbi2d 228	. . . . 5 |- ( b = B -> ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q b -> b e. U ) ) <-> ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q B -> B e. U ) ) ) )
9	1	brel 4418	. . . . . . . 8 |- ( C <Q b -> ( C e. Q. /\ b e. Q. ) )
10		an42 552	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. Q. /\ b e. Q. ) /\ ( C e. U /\ <. L , U >. e. P. ) ) <-> ( ( C e. Q. /\ C e. U ) /\ ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) ) )
11		breq1 3796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = C -> ( c <Q b <-> C <Q b ) )
12		eleq1 2142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( c = C -> ( c e. U <-> C e. U ) )
13	11, 12	anbi12d 457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( c = C -> ( ( c <Q b /\ c e. U ) <-> ( C <Q b /\ C e. U ) ) )
14	13	rspcev 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C e. Q. /\ ( C <Q b /\ C e. U ) ) -> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) )
15		elinp 6726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. L , U >. e. P. <-> ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. c e. Q. c e. L /\ E. b e. Q. b e. U ) ) /\ ( ( A. c e. Q. ( c e. L <-> E. b e. Q. ( c <Q b /\ b e. L ) ) /\ A. b e. Q. ( b e. U <-> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) ) ) /\ A. c e. Q. -. ( c e. L /\ c e. U ) /\ A. c e. Q. A. b e. Q. ( c <Q b -> ( c e. L \/ b e. U ) ) ) ) )
16		simpr1r 997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( L C_ Q. /\ U C_ Q. ) /\ ( E. c e. Q. c e. L /\ E. b e. Q. b e. U ) ) /\ ( ( A. c e. Q. ( c e. L <-> E. b e. Q. ( c <Q b /\ b e. L ) ) /\ A. b e. Q. ( b e. U <-> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) ) ) /\ A. c e. Q. -. ( c e. L /\ c e. U ) /\ A. c e. Q. A. b e. Q. ( c <Q b -> ( c e. L \/ b e. U ) ) ) ) -> A. b e. Q. ( b e. U <-> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) ) )
17	15, 16	sylbi 119	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. L , U >. e. P. -> A. b e. Q. ( b e. U <-> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) ) )
18	17	r19.21bi 2450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) -> ( b e. U <-> E. c e. Q. ( c <Q b /\ c e. U ) ) )
19	14, 18	syl5ibrcom 155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( C e. Q. /\ ( C <Q b /\ C e. U ) ) -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) -> b e. U ) )
20	19	3impb 1135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. Q. /\ C <Q b /\ C e. U ) -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) -> b e. U ) )
21	20	3com12 1143	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( C <Q b /\ C e. Q. /\ C e. U ) -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) -> b e. U ) )
22	21	3expib 1142	. . . . . . . . . 10 |- ( C <Q b -> ( ( C e. Q. /\ C e. U ) -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) -> b e. U ) ) )
23	22	impd 251	. . . . . . . . 9 |- ( C <Q b -> ( ( ( C e. Q. /\ C e. U ) /\ ( <. L , U >. e. P. /\ b e. Q. ) ) -> b e. U ) )
24	10, 23	syl5bi 150	. . . . . . . 8 |- ( C <Q b -> ( ( ( C e. Q. /\ b e. Q. ) /\ ( C e. U /\ <. L , U >. e. P. ) ) -> b e. U ) )
25	9, 24	mpand 420	. . . . . . 7 |- ( C <Q b -> ( ( C e. U /\ <. L , U >. e. P. ) -> b e. U ) )
26	25	com12 30	. . . . . 6 |- ( ( C e. U /\ <. L , U >. e. P. ) -> ( C <Q b -> b e. U ) )
27	26	ancoms 264	. . . . 5 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q b -> b e. U ) )
28	8, 27	vtoclg 2659	. . . 4 |- ( B e. Q. -> ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q B -> B e. U ) ) )
29	28	impd 251	. . 3 |- ( B e. Q. -> ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) /\ C <Q B ) -> B e. U ) )
30	4, 29	mpcom 36	. 2 |- ( ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) /\ C <Q B ) -> B e. U )
31	30	ex 113	1 |- ( ( <. L , U >. e. P. /\ C e. U ) -> ( C <Q B -> B e. U ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 662   /\ w3a 920   = wceq 1285   e. wcel 1434   A.wral 2349   E.wrex 2350   C_ wss 2974   <.cop 3409   class class class wbr 3793   Q.cnq 6532   <Q cltq 6537   P.cnp 6543

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2064  ax-coll 3901  ax-sep 3904  ax-pow 3956  ax-pr 3972  ax-un 4196  ax-iinf 4337

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1687  df-eu 1945  df-mo 1946  df-clab 2069  df-cleq 2075  df-clel 2078  df-nfc 2209  df-ral 2354  df-rex 2355  df-reu 2356  df-rab 2358  df-v 2604  df-sbc 2817  df-csb 2910  df-dif 2976  df-un 2978  df-in 2980  df-ss 2987  df-pw 3392  df-sn 3412  df-pr 3413  df-op 3415  df-uni 3610  df-int 3645  df-iun 3688  df-br 3794  df-opab 3848  df-mpt 3849  df-id 4056  df-iom 4340  df-xp 4377  df-rel 4378  df-cnv 4379  df-co 4380  df-dm 4381  df-rn 4382  df-res 4383  df-ima 4384  df-iota 4897  df-fun 4934  df-fn 4935  df-f 4936  df-f1 4937  df-fo 4938  df-f1o 4939  df-fv 4940  df-qs 6178  df-ni 6556  df-nqqs 6600  df-ltnqqs 6605  df-inp 6718

This theorem is referenced by:  prarloc  6755  prarloc2  6756  addnqprulem  6780  nqpru  6804  prmuloc2  6819  mulnqpru  6821  distrlem4pru  6837  1idpru  6843  ltexprlemm  6852  ltexprlemupu  6856  ltexprlemrl  6862  ltexprlemfu  6863  ltexprlemru  6864  aptiprlemu  6892