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Theorem bezoutlemmain 10594
 Description: Lemma for Bézout's identity. This is the main result which we prove by induction and which represents the application of the Extended Euclidean algorithm. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
bezout.is-bezout (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
bezout.sub-gcd (𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)))
bezout.a (𝜃𝐴 ∈ ℕ0)
bezout.b (𝜃𝐵 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
bezoutlemmain (𝜃 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ([𝑥 / 𝑟]𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓𝜑))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑠,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧   𝜓,𝑠,𝑡,𝑧   𝑠,𝑟,𝑡,𝑥,𝑦,𝑧,𝜃   𝐴,𝑟,𝑠,𝑡   𝐵,𝑟,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑟)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem bezoutlemmain
Dummy variables 𝑎 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sbequ 1763 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑧 → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 ↔ [𝑧 / 𝑟]𝜑))
21anbi2d 452 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑧 → ((𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑) ↔ (𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑)))
3 sbequ 1763 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ↔ [𝑧 / 𝑥]𝜓))
43anbi1d 453 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → (([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑) ↔ ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))
54rexbidv 2374 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → (∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑) ↔ ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))
65imbi2d 228 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑧 → (([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)) ↔ ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))))
76ralbidv 2373 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑧 → (∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))))
82, 7imbi12d 232 . . . . 5 (𝑤 = 𝑧 → (((𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑))) ↔ ((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))))
9 sbequ 1763 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 ↔ [𝑥 / 𝑟]𝜑))
109anbi2d 452 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → ((𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑) ↔ (𝜃 ∧ [𝑥 / 𝑟]𝜑)))
11 sbequ12r 1697 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜓))
1211anbi1d 453 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑) ↔ (𝜓𝜑)))
1312rexbidv 2374 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑) ↔ ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓𝜑)))
1413imbi2d 228 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)) ↔ ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓𝜑))))
1514ralbidv 2373 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓𝜑))))
1610, 15imbi12d 232 . . . . 5 (𝑤 = 𝑥 → (((𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑))) ↔ ((𝜃 ∧ [𝑥 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓𝜑)))))
17 nfv 1462 . . . . . . . . . . 11 𝑦 𝑤 ∈ ℕ0
18 nfcv 2223 . . . . . . . . . . . 12 𝑦(0...(𝑤 − 1))
19 nfv 1462 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦(𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑)
20 nfra1 2402 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))
2119, 20nfim 1505 . . . . . . . . . . . 12 𝑦((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))
2218, 21nfralxy 2407 . . . . . . . . . . 11 𝑦𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))
2317, 22nfan 1498 . . . . . . . . . 10 𝑦(𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))))
24 nfv 1462 . . . . . . . . . 10 𝑦(𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)
2523, 24nfan 1498 . . . . . . . . 9 𝑦((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑))
26 nfv 1462 . . . . . . . . 9 𝑦 𝑤 = 0
2725, 26nfan 1498 . . . . . . . 8 𝑦(((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 𝑤 = 0)
28 simplr 497 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → 𝑦 ∈ ℕ0)
29 nfv 1462 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑟𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑦 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦))
30 breq2 3809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = 𝑦 → (𝑧𝑟𝑧𝑦))
3130imbi1d 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = 𝑦 → ((𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦))))
3231ralbidv 2373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑦 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦))))
3329, 32sbie 1716 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝑦 / 𝑟]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑦 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦)))
34 nn0z 8504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ)
35 dvds0 10418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∥ 0)
3634, 35syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℕ0𝑧 ∥ 0)
3736biantrurd 299 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧𝑦 ↔ (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦)))
3837biimpd 142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℕ0 → (𝑧𝑦 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦)))
3933, 38mprgbir 2426 . . . . . . . . . . . 12 [𝑦 / 𝑟]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦))
40 nfv 1462 . . . . . . . . . . . . 13 𝑟 𝑤 = 0
41 dfsbcq2 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 0 → ([𝑤 / 𝑥]𝜓[0 / 𝑥]𝜓))
42 bezout.sub-gcd . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)))
4342sbcbii 2882 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([0 / 𝑥]𝜓[0 / 𝑥]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)))
44 c0ex 7227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
45 breq2 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 0 → (𝑧𝑥𝑧 ∥ 0))
4645anbi1d 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 0 → ((𝑧𝑥𝑧𝑦) ↔ (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦)))
4746imbi2d 228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 0 → ((𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦))))
4847ralbidv 2373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 0 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦))))
4944, 48sbcie 2857 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([0 / 𝑥]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦)))
5043, 49bitri 182 . . . . . . . . . . . . . 14 ([0 / 𝑥]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦)))
5141, 50syl6bb 194 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 0 → ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦))))
5240, 51sbbid 1769 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 0 → ([𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓 ↔ [𝑦 / 𝑟]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ 0 ∧ 𝑧𝑦))))
5339, 52mpbiri 166 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 0 → [𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓)
5453ad3antlr 477 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → [𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓)
55 simpr 108 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → [𝑦 / 𝑟]𝜑)
56 nfs1v 1858 . . . . . . . . . . . 12 𝑟[𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓
57 nfs1v 1858 . . . . . . . . . . . 12 𝑟[𝑦 / 𝑟]𝜑
5856, 57nfan 1498 . . . . . . . . . . 11 𝑟([𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑)
59 sbequ12 1696 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑦 → ([𝑤 / 𝑥]𝜓 ↔ [𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓))
60 sbequ12 1696 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑦 → (𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑟]𝜑))
6159, 60anbi12d 457 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑦 → (([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑) ↔ ([𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑)))
6258, 61rspce 2705 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ([𝑦 / 𝑟][𝑤 / 𝑥]𝜓 ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑)) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑))
6328, 54, 55, 62syl12anc 1168 . . . . . . . . 9 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 𝑤 = 0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑))
6463exp31 356 . . . . . . . 8 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 𝑤 = 0) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑))))
6527, 64ralrimi 2437 . . . . . . 7 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 𝑤 = 0) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)))
66 nfv 1462 . . . . . . . . . 10 𝑦0 < 𝑤
6725, 66nfan 1498 . . . . . . . . 9 𝑦(((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤)
68 bezout.is-bezout . . . . . . . . . . 11 (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
69 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → 𝜃)
70 bezout.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜃𝐴 ∈ ℕ0)
7169, 70syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → 𝐴 ∈ ℕ0)
7271ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → 𝐴 ∈ ℕ0)
73 bezout.b . . . . . . . . . . . . 13 (𝜃𝐵 ∈ ℕ0)
7469, 73syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → 𝐵 ∈ ℕ0)
7574ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → 𝐵 ∈ ℕ0)
76 simplll 500 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℕ0)
77 simpr 108 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → 0 < 𝑤)
78 elnnnn0b 8451 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℕ ↔ (𝑤 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑤))
7976, 77, 78sylanbrc 408 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → 𝑤 ∈ ℕ)
8079ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → 𝑤 ∈ ℕ)
81 simpr 108 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → [𝑦 / 𝑟]𝜑)
82 simplr 497 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → 𝑦 ∈ ℕ0)
83 simplrr 503 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → [𝑤 / 𝑟]𝜑)
84 sbsbc 2828 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝑤 / 𝑟]𝜑[𝑤 / 𝑟]𝜑)
8583, 84sylib 120 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → [𝑤 / 𝑟]𝜑)
8685ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → [𝑤 / 𝑟]𝜑)
87 breq1 3808 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑎 → (𝑧𝑟𝑎𝑟))
88 breq1 3808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑎 → (𝑧𝑥𝑎𝑥))
89 breq1 3808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑎 → (𝑧𝑦𝑎𝑦))
9088, 89anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑎 → ((𝑧𝑥𝑧𝑦) ↔ (𝑎𝑥𝑎𝑦)))
9187, 90imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑎 → ((𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ (𝑎𝑟 → (𝑎𝑥𝑎𝑦))))
9291cbvralv 2582 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 (𝑎𝑟 → (𝑎𝑥𝑎𝑦)))
9342, 92bitri 182 . . . . . . . . . . 11 (𝜓 ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 (𝑎𝑟 → (𝑎𝑥𝑎𝑦)))
9469ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → 𝜃)
95 simpr 108 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑)
9694, 95jca 300 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → (𝜃[(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑))
9783ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → [𝑤 / 𝑟]𝜑)
98 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → 𝑦 ∈ ℕ0)
9998nn0zd 8600 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → 𝑦 ∈ ℤ)
10079ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → 𝑤 ∈ ℕ)
101 zmodfz 9480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑤 ∈ ℕ) → (𝑦 mod 𝑤) ∈ (0...(𝑤 − 1)))
10299, 100, 101syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → (𝑦 mod 𝑤) ∈ (0...(𝑤 − 1)))
103 simpll 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → (((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤))
104 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) → ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))))
105104ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))))
106 nfv 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦[𝑤 / 𝑟]𝜑
107 nfcv 2223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦0
108 nfs1v 1858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑦[𝑤 / 𝑦]𝜓
109108nfsbxy 1861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑦[𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓
110 nfv 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑦𝜑
111109, 110nfan 1498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)
112107, 111nfrexxy 2408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)
113106, 112nfim 1505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑦([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑))
114 sbequ 1763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑤 → ([𝑦 / 𝑟]𝜑 ↔ [𝑤 / 𝑟]𝜑))
115 nfv 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑥 𝑦 = 𝑤
116 sbequ12 1696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑤 → (𝜓 ↔ [𝑤 / 𝑦]𝜓))
117115, 116sbbid 1769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑤 → ([𝑧 / 𝑥]𝜓 ↔ [𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓))
118117anbi1d 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑤 → (([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑) ↔ ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)))
119118rexbidv 2374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑤 → (∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑) ↔ ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)))
120114, 119imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑤 → (([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)) ↔ ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑))))
121113, 120rspc 2704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ ℕ0 → (∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑))))
122121imim2d 53 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤 ∈ ℕ0 → (((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))) → ((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)))))
123122ralimdv 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ ℕ0 → (∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))) → ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)))))
124123ad4antr 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → (∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))) → ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)))))
125105, 124mpd 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑))))
126103, 125sylan 277 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑))))
127 dfsbcq2 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → ([𝑧 / 𝑟]𝜑[(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑))
128127anbi2d 452 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → ((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) ↔ (𝜃[(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑)))
129 sbsbc 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓[𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓)
130 sbsbc 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ([𝑤 / 𝑦]𝜓[𝑤 / 𝑦]𝜓)
131130sbcbii 2882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓[𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓)
132129, 131bitri 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓[𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓)
133132anbi1i 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑) ↔ ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑))
134 dfsbcq 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓[(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓))
135134anbi1d 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → (([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑) ↔ ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)))
136133, 135syl5bb 190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → (([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑) ↔ ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)))
137136rexbidv 2374 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → (∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑) ↔ ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)))
138137imbi2d 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → (([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)) ↔ ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑))))
139128, 138imbi12d 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (𝑦 mod 𝑤) → (((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑))) ↔ ((𝜃[(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)))))
140139rspcv 2706 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 mod 𝑤) ∈ (0...(𝑤 − 1)) → (∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑))) → ((𝜃[(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑)))))
141102, 126, 140sylc 61 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ((𝜃[(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ([𝑤 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑))))
14296, 97, 141mp2d 46 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) ∧ [(𝑦 mod 𝑤) / 𝑟]𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑤) / 𝑥][𝑤 / 𝑦]𝜓𝜑))
143 nfv 1462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑤 ∈ ℕ0
144 nfcv 2223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥(0...(𝑤 − 1))
145 nfv 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑)
146 nfcv 2223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥0
147 nfv 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥𝜑
148147nfsbxy 1861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥[𝑦 / 𝑟]𝜑
149 nfs1v 1858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 𝑥[𝑧 / 𝑥]𝜓
150149, 147nfan 1498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)
151146, 150nfrexxy 2408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)
152148, 151nfim 1505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))
153146, 152nfralxy 2407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))
154145, 153nfim 1505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))
155144, 154nfralxy 2407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))
156143, 155nfan 1498 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))))
157 nfv 1462 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)
158156, 157nfan 1498 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑))
159 nfv 1462 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥0 < 𝑤
160158, 159nfan 1498 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤)
161 nfv 1462 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 𝑦 ∈ ℕ0
162160, 161nfan 1498 . . . . . . . . . . . 12 𝑥((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)
163162, 148nfan 1498 . . . . . . . . . . 11 𝑥(((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑)
164 nfv 1462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑟 𝑤 ∈ ℕ0
165 nfcv 2223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑟(0...(𝑤 − 1))
166 nfv 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑟𝜃
167 nfs1v 1858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑟[𝑧 / 𝑟]𝜑
168166, 167nfan 1498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑟(𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑)
169 nfcv 2223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑟0
170 nfre1 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑟𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)
17157, 170nfim 1505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑟([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))
172169, 171nfralxy 2407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑟𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))
173168, 172nfim 1505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑟((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))
174165, 173nfralxy 2407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑟𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))
175164, 174nfan 1498 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑟(𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))))
176 nfs1v 1858 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑟[𝑤 / 𝑟]𝜑
177166, 176nfan 1498 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑟(𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)
178175, 177nfan 1498 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑟((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑))
179 nfv 1462 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑟0 < 𝑤
180178, 179nfan 1498 . . . . . . . . . . . . 13 𝑟(((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤)
181 nfv 1462 . . . . . . . . . . . . 13 𝑟 𝑦 ∈ ℕ0
182180, 181nfan 1498 . . . . . . . . . . . 12 𝑟((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0)
183182, 57nfan 1498 . . . . . . . . . . 11 𝑟(((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑)
18468, 72, 75, 80, 81, 82, 86, 93, 142, 163, 183bezoutlemstep 10593 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ [𝑦 / 𝑟]𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑))
185184exp31 356 . . . . . . . . 9 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → (𝑦 ∈ ℕ0 → ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑))))
18667, 185ralrimi 2437 . . . . . . . 8 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)))
187 sbsbc 2828 . . . . . . . . . . . 12 ([𝑤 / 𝑥]𝜓[𝑤 / 𝑥]𝜓)
188187anbi1i 446 . . . . . . . . . . 11 (([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑) ↔ ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑))
189188rexbii 2378 . . . . . . . . . 10 (∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑) ↔ ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑))
190189imbi2i 224 . . . . . . . . 9 (([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)) ↔ ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)))
191190ralbii 2377 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)))
192186, 191sylibr 132 . . . . . . 7 ((((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) ∧ 0 < 𝑤) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)))
193 nn0nlt0 8433 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℕ0 → ¬ 𝑤 < 0)
194 nn0z 8504 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℕ0𝑤 ∈ ℤ)
195 ztri3or0 8526 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ ℤ → (𝑤 < 0 ∨ 𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤))
196194, 195syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 ∈ ℕ0 → (𝑤 < 0 ∨ 𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤))
197 3orass 923 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 < 0 ∨ 𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤) ↔ (𝑤 < 0 ∨ (𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤)))
198196, 197sylib 120 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ ℕ0 → (𝑤 < 0 ∨ (𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤)))
199198orcomd 681 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℕ0 → ((𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤) ∨ 𝑤 < 0))
200193, 199ecased 1281 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℕ0 → (𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤))
201200ad2antrr 472 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) → (𝑤 = 0 ∨ 0 < 𝑤))
20265, 192, 201mpjaodan 745 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑)))) ∧ (𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑)) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)))
203202exp31 356 . . . . 5 (𝑤 ∈ ℕ0 → (∀𝑧 ∈ (0...(𝑤 − 1))((𝜃 ∧ [𝑧 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑧 / 𝑥]𝜓𝜑))) → ((𝜃 ∧ [𝑤 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑤 / 𝑥]𝜓𝜑)))))
2048, 16, 203nn0sinds 9572 . . . 4 (𝑥 ∈ ℕ0 → ((𝜃 ∧ [𝑥 / 𝑟]𝜑) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓𝜑))))
205204expd 254 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝜃 → ([𝑥 / 𝑟]𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓𝜑)))))
206205impcom 123 . 2 ((𝜃𝑥 ∈ ℕ0) → ([𝑥 / 𝑟]𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓𝜑))))
207206ralrimiva 2439 1 (𝜃 → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ([𝑥 / 𝑟]𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ([𝑦 / 𝑟]𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 (𝜓𝜑))))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 662   ∨ w3o 919   = wceq 1285   ∈ wcel 1434  [wsb 1687  ∀wral 2353  ∃wrex 2354  [wsbc 2824   class class class wbr 3805  (class class class)co 5563  0cc0 7095  1c1 7096   + caddc 7098   · cmul 7100   < clt 7267   − cmin 7398  ℕcn 8158  ℕ0cn0 8407  ℤcz 8484  ...cfz 9157   mod cmo 9456   ∥ cdvds 10403 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-nul 3924  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-iinf 4357  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-mulrcl 7189  ax-addcom 7190  ax-mulcom 7191  ax-addass 7192  ax-mulass 7193  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-1rid 7197  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-precex 7200  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-apti 7205  ax-pre-ltadd 7206  ax-pre-mulgt0 7207  ax-pre-mulext 7208  ax-arch 7209 This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-nul 3268  df-if 3369  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-tr 3896  df-id 4076  df-po 4079  df-iso 4080  df-iord 4149  df-on 4151  df-ilim 4152  df-suc 4154  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-1st 5818  df-2nd 5819  df-recs 5974  df-frec 6060  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-reap 7794  df-ap 7801  df-div 7880  df-inn 8159  df-2 8217  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-q 8838  df-rp 8868  df-fz 9158  df-fl 9404  df-mod 9457  df-iseq 9574  df-iexp 9625  df-cj 9930  df-re 9931  df-im 9932  df-rsqrt 10085  df-abs 10086  df-dvds 10404 This theorem is referenced by:  bezoutlemex  10597
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