Theorem caofinvl 6004

Description: Transfer a left inverse law to the function operation. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
caofref.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
caofref.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
caofinv.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
caofinv.4	⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑆⟶𝑆)
caofinv.5	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))))
caofinvl.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑁‘𝑥)𝑅𝑥) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
caofinvl	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 𝑅𝐹) = (𝐴 × {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝜑,𝑥   𝑥,𝑅   𝑥,𝑆   𝑣,𝐴   𝑣,𝐹,𝑥   𝑥,𝑁,𝑣   𝑣,𝑆   𝜑,𝑣

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑣)   𝑅(𝑣)   𝐺(𝑣)   𝑉(𝑥,𝑣)   𝑊(𝑥,𝑣)

Proof of Theorem caofinvl

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caofref.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
2		caofinv.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁:𝑆⟶𝑆)
3	2	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → 𝑁:𝑆⟶𝑆)
4		caofref.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝑆)
5	4	ffvelrnda 5555	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑣) ∈ 𝑆)
6	3, 5	ffvelrnd 5556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴) → (𝑁‘(𝐹‘𝑣)) ∈ 𝑆)
7		eqid 2139	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))) = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣)))
8	6, 7	fmptd 5574	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))):𝐴⟶𝑆)
9		caofinv.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))))
10	9	feq1d 5259	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐴⟶𝑆 ↔ (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))):𝐴⟶𝑆))
11	8, 10	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶𝑆)
12	11	ffvelrnda 5555	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑤) ∈ 𝑆)
13	4	ffvelrnda 5555	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑤) ∈ 𝑆)
14	6	ralrimiva 2505	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝐹‘𝑣)) ∈ 𝑆)
15	7	fnmpt 5249	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑣 ∈ 𝐴 (𝑁‘(𝐹‘𝑣)) ∈ 𝑆 → (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))) Fn 𝐴)
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))) Fn 𝐴)
17	9	fneq1d 5213	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Fn 𝐴 ↔ (𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣))) Fn 𝐴))
18	16, 17	mpbird 166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
19		dffn5im 5467	. . . . 5 ⊢ (𝐺 Fn 𝐴 → 𝐺 = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑤)))
20	18, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐺‘𝑤)))
21	4	feqmptd 5474	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ (𝐹‘𝑤)))
22	1, 12, 13, 20, 21	offval2 5997	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 𝑅𝐹) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐺‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤))))
23	9	fveq1d 5423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑤) = ((𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣)))‘𝑤))
24	23	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑤) = ((𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣)))‘𝑤))
25		simpr 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑤 ∈ 𝐴)
26	2	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → 𝑁:𝑆⟶𝑆)
27	26, 13	ffvelrnd 5556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝑁‘(𝐹‘𝑤)) ∈ 𝑆)
28		fveq2 5421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝐹‘𝑣) = (𝐹‘𝑤))
29	28	fveq2d 5425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 = 𝑤 → (𝑁‘(𝐹‘𝑣)) = (𝑁‘(𝐹‘𝑤)))
30	29, 7	fvmptg 5497	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐴 ∧ (𝑁‘(𝐹‘𝑤)) ∈ 𝑆) → ((𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣)))‘𝑤) = (𝑁‘(𝐹‘𝑤)))
31	25, 27, 30	syl2anc 408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑣 ∈ 𝐴 ↦ (𝑁‘(𝐹‘𝑣)))‘𝑤) = (𝑁‘(𝐹‘𝑤)))
32	24, 31	eqtrd 2172	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑤) = (𝑁‘(𝐹‘𝑤)))
33	32	oveq1d 5789	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤)) = ((𝑁‘(𝐹‘𝑤))𝑅(𝐹‘𝑤)))
34		fveq2 5421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑤) → (𝑁‘𝑥) = (𝑁‘(𝐹‘𝑤)))
35		id 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑤) → 𝑥 = (𝐹‘𝑤))
36	34, 35	oveq12d 5792	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑤) → ((𝑁‘𝑥)𝑅𝑥) = ((𝑁‘(𝐹‘𝑤))𝑅(𝐹‘𝑤)))
37	36	eqeq1d 2148	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑤) → (((𝑁‘𝑥)𝑅𝑥) = 𝐵 ↔ ((𝑁‘(𝐹‘𝑤))𝑅(𝐹‘𝑤)) = 𝐵))
38		caofinvl.6	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → ((𝑁‘𝑥)𝑅𝑥) = 𝐵)
39	38	ralrimiva 2505	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑁‘𝑥)𝑅𝑥) = 𝐵)
40	39	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝑁‘𝑥)𝑅𝑥) = 𝐵)
41	37, 40, 13	rspcdva 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑤))𝑅(𝐹‘𝑤)) = 𝐵)
42	33, 41	eqtrd 2172	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤)) = 𝐵)
43	42	mpteq2dva 4018	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐺‘𝑤)𝑅(𝐹‘𝑤))) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
44	22, 43	eqtrd 2172	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 𝑅𝐹) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
45		fconstmpt 4586	. 2 ⊢ (𝐴 × {𝐵}) = (𝑤 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
46	44, 45	syl6eqr 2190	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 𝑅𝐹) = (𝐴 × {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  {csn 3527   ↦ cmpt 3989   × cxp 4537   Fn wfn 5118  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774   ∘_𝑓 cof 5980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982

This theorem is referenced by: (None)