Theorem fvmptg 5497

Description: Value of a function given in maps-to notation. (Contributed by NM, 2-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmptg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
fvmptg.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmptg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fvmptg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2139	. 2 ⊢ 𝐶 = 𝐶
2		fvmptg.1	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	eqeq2d 2151	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑦 = 𝐵 ↔ 𝑦 = 𝐶))
4		eqeq1 2146	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐶 → (𝑦 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝐶))
5		moeq 2859	. . . 4 ⊢ ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ∃*𝑦 𝑦 = 𝐵)
7		fvmptg.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵)
8		df-mpt 3991	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐵) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
9	7, 8	eqtri 2160	. . 3 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ 𝑦 = 𝐵)}
10	3, 4, 6, 9	fvopab3ig 5495	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐶 = 𝐶 → (𝐹‘𝐴) = 𝐶))
11	1, 10	mpi 15	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐷 ∧ 𝐶 ∈ 𝑅) → (𝐹‘𝐴) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃*wmo 2000  {copab 3988   ↦ cmpt 3989  ‘cfv 5123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131

This theorem is referenced by:  fvmpt  5498  fvmpts  5499  fvmpt3  5500  fvmpt2  5504  f1mpt  5672  caofinvl  6004  1stvalg  6040  2ndvalg  6041  brtpos2  6148  rdgon  6283  frec0g  6294  freccllem  6299  frecfcllem  6301  frecsuclem  6303  sucinc  6341  sucinc2  6342  omcl  6357  oeicl  6358  oav2  6359  omv2  6361  fvdiagfn  6587  djulclr  6934  djurclr  6935  djulcl  6936  djurcl  6937  djulclb  6940  omp1eomlem  6979  ctmlemr  6993  nnnninf  7023  cardval3ex  7041  ceilqval  10086  frec2uzzd  10180  frec2uzsucd  10181  monoord2  10257  iseqf1olemqval  10267  iseqf1olemqk  10274  seq3f1olemqsum  10280  seq3f1oleml  10283  seq3f1o  10284  seq3distr  10293  ser3le  10298  hashinfom  10531  hashennn  10533  cjval  10624  reval  10628  imval  10629  cvg1nlemcau  10763  cvg1nlemres  10764  absval  10780  resqrexlemglsq  10801  resqrexlemga  10802  climmpt  11076  climle  11110  climcvg1nlem  11125  summodclem3  11156  summodclem2a  11157  zsumdc  11160  fsum3  11163  fsumcl2lem  11174  sumsnf  11185  isumadd  11207  fsumrev  11219  fsumshft  11220  fsummulc2  11224  iserabs  11251  isumlessdc  11272  divcnv  11273  trireciplem  11276  trirecip  11277  expcnvap0  11278  expcnvre  11279  expcnv  11280  explecnv  11281  geolim  11287  geolim2  11288  geo2lim  11292  geoisum  11293  geoisumr  11294  geoisum1  11295  geoisum1c  11296  cvgratz  11308  mertenslem2  11312  mertensabs  11313  eftvalcn  11370  efval  11374  efcvgfsum  11380  ege2le3  11384  efcj  11386  eftlub  11403  efgt1p2  11408  eflegeo  11415  sinval  11416  cosval  11417  tanvalap  11422  eirraplem  11490  phival  11896  crth  11907  phimullem  11908  ennnfonelemj0  11921  ennnfonelem0  11925  strnfvnd  11989  topnvalg  12142  toponsspwpwg  12199  tgval  12228  cldval  12278  ntrfval  12279  clsfval  12280  neifval  12319  neival  12322  ismet  12523  isxmet  12524  divcnap  12734  mulc1cncf  12755  djucllem  13017  nnsf  13209  peano3nninf  13211  nninfalllemn  13212  nninfself  13219  nninfsellemeqinf  13222