Theorem divdivdivap 7471

Description: Division of two ratios. Theorem I.15 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divdivdivap	⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((A / B) / (𝐶 / 𝐷)) = ((A · 𝐷) / (B · 𝐶)))

Proof of Theorem divdivdivap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprrl 491	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐷 ∈ ℂ)
2		simprll 489	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐶 ∈ ℂ)
3		simprlr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐶 # 0)
4		divclap 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → (𝐷 / 𝐶) ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1134	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐷 / 𝐶) ∈ ℂ)
6		simpll 481	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → A ∈ ℂ)
7		simplrl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → B ∈ ℂ)
8		simplrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → B # 0)
9		divclap 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ ∧ B # 0) → (A / B) ∈ ℂ)
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1134	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (A / B) ∈ ℂ)
11	5, 10	mulcomd 6846	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐷 / 𝐶) · (A / B)) = ((A / B) · (𝐷 / 𝐶)))
12		simplr 482	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (B ∈ ℂ ∧ B # 0))
13		simprl 483	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0))
14		divmuldivap 7470	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((B ∈ ℂ ∧ B # 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0))) → ((A / B) · (𝐷 / 𝐶)) = ((A · 𝐷) / (B · 𝐶)))
15	6, 1, 12, 13, 14	syl22anc 1135	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((A / B) · (𝐷 / 𝐶)) = ((A · 𝐷) / (B · 𝐶)))
16	11, 15	eqtrd 2069	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐷 / 𝐶) · (A / B)) = ((A · 𝐷) / (B · 𝐶)))
17	16	oveq2d 5471	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐷 / 𝐶) · (A / B))) = ((𝐶 / 𝐷) · ((A · 𝐷) / (B · 𝐶))))
18		simprr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))
19		divmuldivap 7470	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) = ((𝐶 · 𝐷) / (𝐷 · 𝐶)))
20	2, 1, 18, 13, 19	syl22anc 1135	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) = ((𝐶 · 𝐷) / (𝐷 · 𝐶)))
21	2, 1	mulcomd 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐶 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐶))
22	21	oveq1d 5470	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 · 𝐷) / (𝐷 · 𝐶)) = ((𝐷 · 𝐶) / (𝐷 · 𝐶)))
23	1, 2	mulcld 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
24		simprrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐷 # 0)
25	1, 2, 24, 3	mulap0d 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐷 · 𝐶) # 0)
26		dividap 7460	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · 𝐶) # 0) → ((𝐷 · 𝐶) / (𝐷 · 𝐶)) = 1)
27	23, 25, 26	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐷 · 𝐶) / (𝐷 · 𝐶)) = 1)
28	22, 27	eqtrd 2069	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 · 𝐷) / (𝐷 · 𝐶)) = 1)
29	20, 28	eqtrd 2069	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) = 1)
30	29	oveq1d 5470	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) · (A / B)) = (1 · (A / B)))
31		divclap 7439	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ)
32	2, 1, 24, 31	syl3anc 1134	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ)
33	32, 5, 10	mulassd 6848	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) · (A / B)) = ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐷 / 𝐶) · (A / B))))
34	10	mulid2d 6843	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (1 · (A / B)) = (A / B))
35	30, 33, 34	3eqtr3d 2077	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐷 / 𝐶) · (A / B))) = (A / B))
36	17, 35	eqtr3d 2071	. 2 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · ((A · 𝐷) / (B · 𝐶))) = (A / B))
37	6, 1	mulcld 6845	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (A · 𝐷) ∈ ℂ)
38	7, 2	mulcld 6845	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (B · 𝐶) ∈ ℂ)
39		mulap0 7417	. . . . 5 ⊢ (((B ∈ ℂ ∧ B # 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → (B · 𝐶) # 0)
40	39	ad2ant2lr 479	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (B · 𝐶) # 0)
41		divclap 7439	. . . 4 ⊢ (((A · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (B · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (B · 𝐶) # 0) → ((A · 𝐷) / (B · 𝐶)) ∈ ℂ)
42	37, 38, 40, 41	syl3anc 1134	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((A · 𝐷) / (B · 𝐶)) ∈ ℂ)
43		divap0 7445	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → (𝐶 / 𝐷) # 0)
44	43	adantl 262	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐶 / 𝐷) # 0)
45		divmulap 7436	. . 3 ⊢ (((A / B) ∈ ℂ ∧ ((A · 𝐷) / (B · 𝐶)) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) # 0)) → (((A / B) / (𝐶 / 𝐷)) = ((A · 𝐷) / (B · 𝐶)) ↔ ((𝐶 / 𝐷) · ((A · 𝐷) / (B · 𝐶))) = (A / B)))
46	10, 42, 32, 44, 45	syl112anc 1138	. 2 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((A / B) / (𝐶 / 𝐷)) = ((A · 𝐷) / (B · 𝐶)) ↔ ((𝐶 / 𝐷) · ((A · 𝐷) / (B · 𝐶))) = (A / B)))
47	36, 46	mpbird 156	1 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ (B ∈ ℂ ∧ B # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((A / B) / (𝐶 / 𝐷)) = ((A · 𝐷) / (B · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  0cc0 6711  1c1 6712   · cmul 6716   # cap 7365   / cdiv 7433

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434

This theorem is referenced by:  recdivap  7476  divcanap7  7479  divdivap1  7481  divdivap2  7482  divdivdivapi  7533  qreccl  8351