Theorem divdivdivap 7627

Description: Division of two ratios. Theorem I.15 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
divdivdivap	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem divdivdivap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprrl 491	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐷 ∈ ℂ)
2		simprll 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐶 ∈ ℂ)
3		simprlr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐶 # 0)
4		divclap 7595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) → (𝐷 / 𝐶) ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐷 / 𝐶) ∈ ℂ)
6		simpll 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐴 ∈ ℂ)
7		simplrl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐵 ∈ ℂ)
8		simplrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐵 # 0)
9		divclap 7595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1135	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
11	5, 10	mulcomd 6991	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐷 / 𝐶) · (𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 / 𝐵) · (𝐷 / 𝐶)))
12		simplr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0))
13		simprl 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0))
14		divmuldivap 7626	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0))) → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐷 / 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))
15	6, 1, 12, 13, 14	syl22anc 1136	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐵) · (𝐷 / 𝐶)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))
16	11, 15	eqtrd 2072	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐷 / 𝐶) · (𝐴 / 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))
17	16	oveq2d 5489	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐷 / 𝐶) · (𝐴 / 𝐵))) = ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶))))
18		simprr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))
19		divmuldivap 7626	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) ∧ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) = ((𝐶 · 𝐷) / (𝐷 · 𝐶)))
20	2, 1, 18, 13, 19	syl22anc 1136	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) = ((𝐶 · 𝐷) / (𝐷 · 𝐶)))
21	2, 1	mulcomd 6991	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐶 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐶))
22	21	oveq1d 5488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 · 𝐷) / (𝐷 · 𝐶)) = ((𝐷 · 𝐶) / (𝐷 · 𝐶)))
23	1, 2	mulcld 6990	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ)
24		simprrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → 𝐷 # 0)
25	1, 2, 24, 3	mulap0d 7577	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐷 · 𝐶) # 0)
26		dividap 7616	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐷 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐷 · 𝐶) # 0) → ((𝐷 · 𝐶) / (𝐷 · 𝐶)) = 1)
27	23, 25, 26	syl2anc 391	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐷 · 𝐶) / (𝐷 · 𝐶)) = 1)
28	22, 27	eqtrd 2072	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 · 𝐷) / (𝐷 · 𝐶)) = 1)
29	20, 28	eqtrd 2072	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) = 1)
30	29	oveq1d 5488	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) · (𝐴 / 𝐵)) = (1 · (𝐴 / 𝐵)))
31		divclap 7595	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ)
32	2, 1, 24, 31	syl3anc 1135	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ)
33	32, 5, 10	mulassd 6993	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐶 / 𝐷) · (𝐷 / 𝐶)) · (𝐴 / 𝐵)) = ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐷 / 𝐶) · (𝐴 / 𝐵))))
34	10	mulid2d 6988	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (1 · (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
35	30, 33, 34	3eqtr3d 2080	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐷 / 𝐶) · (𝐴 / 𝐵))) = (𝐴 / 𝐵))
36	17, 35	eqtr3d 2074	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝐴 / 𝐵))
37	6, 1	mulcld 6990	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
38	7, 2	mulcld 6990	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
39		mulap0 7573	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0)) → (𝐵 · 𝐶) # 0)
40	39	ad2ant2lr 479	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐵 · 𝐶) # 0)
41		divclap 7595	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐶) # 0) → ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
42	37, 38, 40, 41	syl3anc 1135	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
43		divap0 7601	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0)) → (𝐶 / 𝐷) # 0)
44	43	adantl 262	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (𝐶 / 𝐷) # 0)
45		divmulap 7592	. . 3 ⊢ (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ ∧ ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) # 0)) → (((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)) ↔ ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝐴 / 𝐵)))
46	10, 42, 32, 44, 45	syl112anc 1139	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → (((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)) ↔ ((𝐶 / 𝐷) · ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶))) = (𝐴 / 𝐵)))
47	36, 46	mpbird 156	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 # 0)) ∧ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 # 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 # 0))) → ((𝐴 / 𝐵) / (𝐶 / 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) / (𝐵 · 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3760  (class class class)co 5473  ℂcc 6830  0cc0 6832  1c1 6833   · cmul 6837   # cap 7510   / cdiv 7589

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3868  ax-sep 3871  ax-nul 3879  ax-pow 3923  ax-pr 3940  ax-un 4141  ax-setind 4230  ax-iinf 4272  ax-cnex 6918  ax-resscn 6919  ax-1cn 6920  ax-1re 6921  ax-icn 6922  ax-addcl 6923  ax-addrcl 6924  ax-mulcl 6925  ax-mulrcl 6926  ax-addcom 6927  ax-mulcom 6928  ax-addass 6929  ax-mulass 6930  ax-distr 6931  ax-i2m1 6932  ax-1rid 6934  ax-0id 6935  ax-rnegex 6936  ax-precex 6937  ax-cnre 6938  ax-pre-ltirr 6939  ax-pre-ltwlin 6940  ax-pre-lttrn 6941  ax-pre-apti 6942  ax-pre-ltadd 6943  ax-pre-mulgt0 6944  ax-pre-mulext 6945

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rmo 2311  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3577  df-int 3612  df-iun 3655  df-br 3761  df-opab 3815  df-mpt 3816  df-tr 3851  df-eprel 4022  df-id 4026  df-po 4029  df-iso 4030  df-iord 4074  df-on 4076  df-suc 4079  df-iom 4275  df-xp 4312  df-rel 4313  df-cnv 4314  df-co 4315  df-dm 4316  df-rn 4317  df-res 4318  df-ima 4319  df-iota 4828  df-fun 4865  df-fn 4866  df-f 4867  df-f1 4868  df-fo 4869  df-f1o 4870  df-fv 4871  df-riota 5429  df-ov 5476  df-oprab 5477  df-mpt2 5478  df-1st 5728  df-2nd 5729  df-recs 5881  df-irdg 5918  df-1o 5962  df-2o 5963  df-oadd 5966  df-omul 5967  df-er 6065  df-ec 6067  df-qs 6071  df-ni 6345  df-pli 6346  df-mi 6347  df-lti 6348  df-plpq 6385  df-mpq 6386  df-enq 6388  df-nqqs 6389  df-plqqs 6390  df-mqqs 6391  df-1nqqs 6392  df-rq 6393  df-ltnqqs 6394  df-enq0 6465  df-nq0 6466  df-0nq0 6467  df-plq0 6468  df-mq0 6469  df-inp 6507  df-i1p 6508  df-iplp 6509  df-iltp 6511  df-enr 6754  df-nr 6755  df-ltr 6758  df-0r 6759  df-1r 6760  df-0 6839  df-1 6840  df-r 6842  df-lt 6845  df-pnf 7004  df-mnf 7005  df-xr 7006  df-ltxr 7007  df-le 7008  df-sub 7126  df-neg 7127  df-reap 7504  df-ap 7511  df-div 7590

This theorem is referenced by:  recdivap  7632  divcanap7  7635  divdivap1  7637  divdivap2  7638  divdivdivapi  7689  qreccl  8509