Theorem mulid2d 7784

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulid2d	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulid2 7764	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  1c1 7621   · cmul 7625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-mulcl 7718  ax-mulcom 7721  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-1rid 7727  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777

This theorem is referenced by:  adddirp1d  7792  mulsubfacd  8180  mulcanapd  8422  receuap  8430  divdivdivap  8473  divcanap5  8474  subrecap  8598  ltrec  8641  recp1lt1  8657  nndivtr  8762  xp1d2m1eqxm1d2  8972  gtndiv  9146  lincmb01cmp  9786  iccf1o  9787  modqfrac  10110  qnegmod  10142  addmodid  10145  m1expcl2  10315  expgt1  10331  ltexp2a  10345  leexp2a  10346  binom3  10409  faclbnd  10487  facavg  10492  bcval5  10509  cvg1nlemcau  10756  resqrexlemover  10782  resqrexlemcalc2  10787  absimle  10856  maxabslemlub  10979  reccn2ap  11082  binom1p  11254  binom1dif  11256  efcllemp  11364  ef01bndlem  11463  efieq1re  11478  eirraplem  11483  iddvds  11506  gcdaddm  11672  rpmulgcd  11714  prmind2  11801  phiprm  11899  hashgcdlem  11903  dvexp  12844  dvef  12856  sin0pilem1  12862  sinhalfpip  12901  sinhalfpim  12902  coshalfpip  12903  coshalfpim  12904  tangtx  12919  qdencn  13222