ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elfz2nn0 GIF version

Theorem elfz2nn0 9257
Description: Membership in a finite set of sequential nonnegative integers. (Contributed by NM, 16-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
elfz2nn0 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))

Proof of Theorem elfz2nn0
StepHypRef Expression
1 elnn0uz 8789 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ (ℤ‘0))
21anbi1i 446 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
3 eluznn0 8819 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4 eluzle 8764 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) → 𝐾𝑁)
54adantl 271 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝐾𝑁)
63, 5jca 300 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))
7 nn0z 8504 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
8 nn0z 8504 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
9 eluz 8765 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ↔ 𝐾𝑁))
107, 8, 9syl2an 283 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ↔ 𝐾𝑁))
1110biimprd 156 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑁𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
1211impr 371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
136, 12impbida 561 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))
1413pm5.32i 442 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))
152, 14bitr3i 184 . 2 ((𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))
16 elfzuzb 9167 . 2 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)))
17 3anass 924 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁)))
1815, 16, 173bitr4i 210 1 (𝐾 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐾𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 102  wb 103  w3a 920  wcel 1434   class class class wbr 3805  cfv 4952  (class class class)co 5563  0cc0 7095  cle 7268  0cn0 8407  cz 8484  cuz 8752  ...cfz 9157
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-setind 4308  ax-cnex 7181  ax-resscn 7182  ax-1cn 7183  ax-1re 7184  ax-icn 7185  ax-addcl 7186  ax-addrcl 7187  ax-mulcl 7188  ax-addcom 7190  ax-addass 7192  ax-distr 7194  ax-i2m1 7195  ax-0lt1 7196  ax-0id 7198  ax-rnegex 7199  ax-cnre 7201  ax-pre-ltirr 7202  ax-pre-ltwlin 7203  ax-pre-lttrn 7204  ax-pre-ltadd 7206
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-fv 4960  df-riota 5519  df-ov 5566  df-oprab 5567  df-mpt2 5568  df-pnf 7269  df-mnf 7270  df-xr 7271  df-ltxr 7272  df-le 7273  df-sub 7400  df-neg 7401  df-inn 8159  df-n0 8408  df-z 8485  df-uz 8753  df-fz 9158
This theorem is referenced by:  elfznn0  9259  elfz3nn0  9260  0elfz  9261  elfz0ubfz0  9265  elfz0fzfz0  9266  fz0fzelfz0  9267  uzsubfz0  9269  fz0fzdiffz0  9270  elfzmlbm  9271  elfzmlbp  9272  difelfzle  9274  difelfznle  9275  fzofzim  9326  elfzodifsumelfzo  9339  elfzom1elp1fzo  9340  fzo0to42pr  9358  fzo0sn0fzo1  9359  fvinim0ffz  9379  1elfz0hash  9882
  Copyright terms: Public domain W3C validator