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Theorem elfzodifsumelfzo 9129
Description: If an integer is in a half-open range of nonnegative integers with a difference as upper bound, the sum of the integer with the subtrahend of the difference is in the a half-open range of nonnegative integers containing the minuend of the difference. (Contributed by AV, 13-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
elfzodifsumelfzo ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃)))

Proof of Theorem elfzodifsumelfzo
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 9045 . . 3 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
2 elfz2nn0 9045 . . . . 5 (𝑁 ∈ (0...𝑃) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃))
3 elfzo0 9110 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (𝑁𝑀)))
4 nn0z 8292 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
5 nn0z 8292 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
6 znnsub 8323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
74, 5, 6syl2an 277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
8 simpr 107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℕ0)
9 simpll 489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ0)
10 nn0addcl 8244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
118, 9, 10syl2anr 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
1211adantr 265 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0)
13 0red 7056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
14 nn0re 8218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
1514adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
16 nn0re 8218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
1716adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
1813, 15, 173jca 1093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
1918adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
20 nn0ge0 8234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑀)
2120adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑀)
2221anim1i 327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → (0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁))
23 lelttr 7135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
2419, 22, 23sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
2524ex 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
26 0red 7056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
2716adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
28 nn0re 8218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℝ)
2928adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
30 ltletr 7136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((0 < 𝑁𝑁𝑃) → 0 < 𝑃))
3126, 27, 29, 30syl3anc 1144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 < 𝑁𝑁𝑃) → 0 < 𝑃))
32 nn0z 8292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℤ)
33 elnnz 8282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℕ ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑃))
3433simplbi2 371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℤ → (0 < 𝑃𝑃 ∈ ℕ))
3532, 34syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑃𝑃 ∈ ℕ))
3635adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑃𝑃 ∈ ℕ))
3731, 36syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 < 𝑁𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
3837exp4b 353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 → (𝑁𝑃𝑃 ∈ ℕ))))
3938com24 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝑁𝑃 → (0 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ))))
4039imp 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (0 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ)))
4140com13 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
4241adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
4325, 42syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ)))
4443imp 119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
4544adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → 𝑃 ∈ ℕ))
4645imp 119 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃)) → 𝑃 ∈ ℕ)
47 nn0re 8218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
4847adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
4915adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
50 readdcl 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
5148, 49, 50syl2anr 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
5251adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ)
5317adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
5453adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℝ)
5554adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
5628adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ ℝ)
5752, 55, 563jca 1093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
5857adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑃) → ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
5947adantl 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝐼 ∈ ℝ)
6015adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
6117adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
6259, 60, 61ltaddsubd 7580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 𝑀) < 𝑁𝐼 < (𝑁𝑀)))
6362exbiri 368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)))
6463com23 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)))
6564impd 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁))
6665adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) → ((𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁))
6766imp 119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)
6867adantr 265 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑁)
6968anim1i 327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑃) → ((𝐼 + 𝑀) < 𝑁𝑁𝑃))
70 ltletr 7136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐼 + 𝑀) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (((𝐼 + 𝑀) < 𝑁𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃))
7158, 69, 70sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃)
7271anasss 385 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) < 𝑃)
73 elfzo0 9110 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃) ↔ ((𝐼 + 𝑀) ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 𝑀) < 𝑃))
7412, 46, 72, 73syl3anbrc 1097 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑁) ∧ (𝐼 < (𝑁𝑀) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0)) ∧ (𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))
7574exp53 363 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
767, 75sylbird 163 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
77763adant3 933 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁𝑀) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
7877com14 86 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ → (𝐼 < (𝑁𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))))
79783imp 1107 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (𝑁𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
803, 79sylbi 118 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
8180com13 78 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
82813adant1 931 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑃 ∈ ℕ0𝑁𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
832, 82sylbi 118 . . . 4 (𝑁 ∈ (0...𝑃) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
8483com12 30 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
851, 84sylbi 118 . 2 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 ∈ (0...𝑃) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃))))
8685imp 119 1 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑃)) → (𝐼 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) → (𝐼 + 𝑀) ∈ (0..^𝑃)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  wb 102  w3a 894  wcel 1407   class class class wbr 3789  (class class class)co 5537  cr 6916  0cc0 6917   + caddc 6920   < clt 7089  cle 7090  cmin 7215  cn 7960  0cn0 8209  cz 8272  ...cfz 8946  ..^cfzo 9071
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-nul 3908  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-setind 4287  ax-iinf 4336  ax-cnex 7003  ax-resscn 7004  ax-1cn 7005  ax-1re 7006  ax-icn 7007  ax-addcl 7008  ax-addrcl 7009  ax-mulcl 7010  ax-addcom 7012  ax-addass 7014  ax-distr 7016  ax-i2m1 7017  ax-0id 7020  ax-rnegex 7021  ax-cnre 7023  ax-pre-ltirr 7024  ax-pre-ltwlin 7025  ax-pre-lttrn 7026  ax-pre-ltadd 7028
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 752  df-3or 895  df-3an 896  df-tru 1260  df-fal 1263  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ne 2219  df-nel 2313  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-nul 3250  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-tr 3880  df-eprel 4051  df-id 4055  df-po 4058  df-iso 4059  df-iord 4128  df-on 4130  df-suc 4133  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-riota 5493  df-ov 5540  df-oprab 5541  df-mpt2 5542  df-1st 5792  df-2nd 5793  df-recs 5948  df-irdg 5985  df-1o 6029  df-2o 6030  df-oadd 6033  df-omul 6034  df-er 6134  df-ec 6136  df-qs 6140  df-ni 6430  df-pli 6431  df-mi 6432  df-lti 6433  df-plpq 6470  df-mpq 6471  df-enq 6473  df-nqqs 6474  df-plqqs 6475  df-mqqs 6476  df-1nqqs 6477  df-rq 6478  df-ltnqqs 6479  df-enq0 6550  df-nq0 6551  df-0nq0 6552  df-plq0 6553  df-mq0 6554  df-inp 6592  df-i1p 6593  df-iplp 6594  df-iltp 6596  df-enr 6839  df-nr 6840  df-ltr 6843  df-0r 6844  df-1r 6845  df-0 6924  df-1 6925  df-r 6927  df-lt 6930  df-pnf 7091  df-mnf 7092  df-xr 7093  df-ltxr 7094  df-le 7095  df-sub 7217  df-neg 7218  df-inn 7961  df-n0 8210  df-z 8273  df-uz 8540  df-fz 8947  df-fzo 9072
This theorem is referenced by:  elfzom1elp1fzo  9130
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