ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gcdsupex GIF version

Theorem gcdsupex 10540
Description: Existence of the supremum used in defining gcd. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
gcdsupex (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑋𝑛𝑌)} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑋𝑛𝑌)}𝑦 < 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑛,𝑌,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem gcdsupex
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1zzd 8495 . 2 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → 1 ∈ ℤ)
2 breq1 3809 . . 3 (𝑛 = 1 → (𝑛𝑋 ↔ 1 ∥ 𝑋))
3 breq1 3809 . . 3 (𝑛 = 1 → (𝑛𝑌 ↔ 1 ∥ 𝑌))
42, 3anbi12d 457 . 2 (𝑛 = 1 → ((𝑛𝑋𝑛𝑌) ↔ (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌)))
5 1dvds 10401 . . . 4 (𝑋 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑋)
6 1dvds 10401 . . . 4 (𝑌 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑌)
75, 6anim12i 331 . . 3 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌))
87adantr 270 . 2 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (1 ∥ 𝑋 ∧ 1 ∥ 𝑌))
9 elnnuz 8772 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↔ 𝑛 ∈ (ℤ‘1))
109biimpri 131 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ‘1) → 𝑛 ∈ ℕ)
11 simpll 496 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑋 ∈ ℤ)
12 dvdsdc 10395 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → DECID 𝑛𝑋)
1310, 11, 12syl2an2 559 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → DECID 𝑛𝑋)
14 simplr 497 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑌 ∈ ℤ)
15 dvdsdc 10395 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → DECID 𝑛𝑌)
1610, 14, 15syl2an2 559 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → DECID 𝑛𝑌)
17 dcan 876 . . . 4 (DECID 𝑛𝑋 → (DECID 𝑛𝑌DECID (𝑛𝑋𝑛𝑌)))
1813, 16, 17sylc 61 . . 3 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → DECID (𝑛𝑋𝑛𝑌))
1918adantlr 461 . 2 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑛 ∈ (ℤ‘1)) → DECID (𝑛𝑋𝑛𝑌))
20 simplll 500 . . . 4 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑋 ≠ 0) → 𝑋 ∈ ℤ)
21 dvdsbnd 10539 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋)
22 nnuz 8771 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
2322rexeqi 2559 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋)
2421, 23sylib 120 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋)
25 id 19 . . . . . . . 8 𝑛𝑋 → ¬ 𝑛𝑋)
2625intnanrd 875 . . . . . . 7 𝑛𝑋 → ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
2726ralimi 2431 . . . . . 6 (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
2827reximi 2463 . . . . 5 (∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑋 → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
2924, 28syl 14 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
3020, 29sylancom 411 . . 3 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑋 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
31 simpllr 501 . . . 4 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑌 ≠ 0) → 𝑌 ∈ ℤ)
32 dvdsbnd 10539 . . . . . 6 ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌)
3322rexeqi 2559 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌 ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌)
3432, 33sylib 120 . . . . 5 ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌)
35 id 19 . . . . . . . 8 𝑛𝑌 → ¬ 𝑛𝑌)
3635intnand 874 . . . . . . 7 𝑛𝑌 → ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
3736ralimi 2431 . . . . . 6 (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌 → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
3837reximi 2463 . . . . 5 (∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ 𝑛𝑌 → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
3934, 38syl 14 . . . 4 ((𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
4031, 39sylancom 411 . . 3 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) ∧ 𝑌 ≠ 0) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
41 simpr 108 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0))
42 simpll 496 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → 𝑋 ∈ ℤ)
43 0z 8479 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
44 zdceq 8540 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑋 = 0)
4542, 43, 44sylancl 404 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → DECID 𝑋 = 0)
46 ianordc 833 . . . . . 6 (DECID 𝑋 = 0 → (¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0)))
4745, 46syl 14 . . . . 5 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0)))
4841, 47mpbid 145 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0))
49 df-ne 2250 . . . . 5 (𝑋 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑋 = 0)
50 df-ne 2250 . . . . 5 (𝑌 ≠ 0 ↔ ¬ 𝑌 = 0)
5149, 50orbi12i 714 . . . 4 ((𝑋 ≠ 0 ∨ 𝑌 ≠ 0) ↔ (¬ 𝑋 = 0 ∨ ¬ 𝑌 = 0))
5248, 51sylibr 132 . . 3 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → (𝑋 ≠ 0 ∨ 𝑌 ≠ 0))
5330, 40, 52mpjaodan 745 . 2 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ‘1)∀𝑛 ∈ (ℤ𝑗) ¬ (𝑛𝑋𝑛𝑌))
541, 4, 8, 19, 53zsupcllemex 10533 1 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ (∀𝑦 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑋𝑛𝑌)} ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ {𝑛 ∈ ℤ ∣ (𝑛𝑋𝑛𝑌)}𝑦 < 𝑧)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  DECID wdc 776   = wceq 1285  wcel 1434  wne 2249  wral 2353  wrex 2354  {crab 2357   class class class wbr 3806  cfv 4953  cr 7078  0cc0 7079  1c1 7080   < clt 7251  cn 8142  cz 8468  cuz 8736  cdvds 10387
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3914  ax-sep 3917  ax-nul 3925  ax-pow 3969  ax-pr 3993  ax-un 4217  ax-setind 4309  ax-iinf 4358  ax-cnex 7165  ax-resscn 7166  ax-1cn 7167  ax-1re 7168  ax-icn 7169  ax-addcl 7170  ax-addrcl 7171  ax-mulcl 7172  ax-mulrcl 7173  ax-addcom 7174  ax-mulcom 7175  ax-addass 7176  ax-mulass 7177  ax-distr 7178  ax-i2m1 7179  ax-0lt1 7180  ax-1rid 7181  ax-0id 7182  ax-rnegex 7183  ax-precex 7184  ax-cnre 7185  ax-pre-ltirr 7186  ax-pre-ltwlin 7187  ax-pre-lttrn 7188  ax-pre-apti 7189  ax-pre-ltadd 7190  ax-pre-mulgt0 7191  ax-pre-mulext 7192  ax-arch 7193  ax-caucvg 7194
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rmo 2361  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2826  df-csb 2919  df-dif 2985  df-un 2987  df-in 2989  df-ss 2996  df-nul 3269  df-if 3370  df-pw 3403  df-sn 3423  df-pr 3424  df-op 3426  df-uni 3623  df-int 3658  df-iun 3701  df-br 3807  df-opab 3861  df-mpt 3862  df-tr 3897  df-id 4077  df-po 4080  df-iso 4081  df-iord 4150  df-on 4152  df-ilim 4153  df-suc 4155  df-iom 4361  df-xp 4398  df-rel 4399  df-cnv 4400  df-co 4401  df-dm 4402  df-rn 4403  df-res 4404  df-ima 4405  df-iota 4918  df-fun 4955  df-fn 4956  df-f 4957  df-f1 4958  df-fo 4959  df-f1o 4960  df-fv 4961  df-riota 5520  df-ov 5567  df-oprab 5568  df-mpt2 5569  df-1st 5819  df-2nd 5820  df-recs 5975  df-frec 6061  df-pnf 7253  df-mnf 7254  df-xr 7255  df-ltxr 7256  df-le 7257  df-sub 7384  df-neg 7385  df-reap 7778  df-ap 7785  df-div 7864  df-inn 8143  df-2 8201  df-3 8202  df-4 8203  df-n0 8392  df-z 8469  df-uz 8737  df-q 8822  df-rp 8852  df-fz 9142  df-fzo 9266  df-fl 9388  df-mod 9441  df-iseq 9558  df-iexp 9609  df-cj 9914  df-re 9915  df-im 9916  df-rsqrt 10069  df-abs 10070  df-dvds 10388
This theorem is referenced by:  gcddvds  10546  dvdslegcd  10547
  Copyright terms: Public domain W3C validator