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Theorem issref 4757
Description: Two ways to state a relation is reflexive. Adapted from Tarski. (Contributed by FL, 15-Jan-2012.) (Revised by NM, 30-Mar-2016.)
Assertion
Ref Expression
issref (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑅𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑅

Proof of Theorem issref
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ral 2358 . 2 (∀𝑥𝐴 𝑥𝑅𝑥 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑅𝑥))
2 vex 2613 . . . . 5 𝑥 ∈ V
3 opelresi 4671 . . . . 5 (𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ 𝑥𝐴))
42, 3ax-mp 7 . . . 4 (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ 𝑥𝐴)
5 df-br 3806 . . . . 5 (𝑥𝑅𝑥 ↔ ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)
65bicomi 130 . . . 4 (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅𝑥𝑅𝑥)
74, 6imbi12i 237 . . 3 ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝑅𝑥))
87albii 1400 . 2 (∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝑥𝑅𝑥))
9 ralidm 3358 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
10 ralv 2625 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
119, 10bitri 182 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
12 df-ral 2358 . . . . . . . . 9 (∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)))
13 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ V → ((𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)) → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)))
14 opelresg 4667 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ I ∧ 𝑥𝐴)))
15 df-br 3806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 I 𝑧 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ I )
16 vex 2613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑧 ∈ V
1716ideq 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 I 𝑧𝑥 = 𝑧)
18 opelresi 4671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝐴 → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ 𝑥𝐴))
19 pm2.27 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
20 opeq2 3591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑥⟩ = ⟨𝑥, 𝑧⟩)
2120eleq1d 2151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑧 → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
2221biimpcd 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅 → (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
2319, 22syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
2418, 23syl6bir 162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥𝐴 → (𝑥𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))))
2524pm2.43i 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → (𝑥 = 𝑧 → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
2625com3r 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
2717, 26sylbi 119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 I 𝑧 → (𝑥𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
2815, 27sylbir 133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ I → (𝑥𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
2928imp 122 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ I ∧ 𝑥𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
3014, 29syl6bi 161 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
3130com3r 78 . . . . . . . . . . . . 13 ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → (𝑧 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
3231ralrimiv 2438 . . . . . . . . . . . 12 ((⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
3313, 32syl6 33 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ V → ((𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
342, 33ax-mp 7 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
3534sps 1471 . . . . . . . . 9 (∀𝑥(𝑥 ∈ V → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅)) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
3612, 35sylbi 119 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
3736ralimi 2431 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑥 ∈ V ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
38 eleq1 2145 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ⟨𝑥, 𝑧⟩ → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴)))
39 eleq1 2145 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ⟨𝑥, 𝑧⟩ → (𝑦𝑅 ↔ ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
4038, 39imbi12d 232 . . . . . . . 8 (𝑦 = ⟨𝑥, 𝑧⟩ → ((𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅) ↔ (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅)))
4140ralxp 4527 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ (V × V)(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅) ↔ ∀𝑥 ∈ V ∀𝑧 ∈ V (⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑧⟩ ∈ 𝑅))
4237, 41sylibr 132 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑦 ∈ (V × V)(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅))
43 df-ral 2358 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ (V × V)(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅)))
44 relres 4687 . . . . . . . . . . . 12 Rel ( I ↾ 𝐴)
45 df-rel 4398 . . . . . . . . . . . 12 (Rel ( I ↾ 𝐴) ↔ ( I ↾ 𝐴) ⊆ (V × V))
4644, 45mpbi 143 . . . . . . . . . . 11 ( I ↾ 𝐴) ⊆ (V × V)
4746sseli 3004 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦 ∈ (V × V))
4847ancri 317 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → (𝑦 ∈ (V × V) ∧ 𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴)))
49 pm3.31 258 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅)) → ((𝑦 ∈ (V × V) ∧ 𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴)) → 𝑦𝑅))
5048, 49syl5 32 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅)) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅))
5150alimi 1385 . . . . . . 7 (∀𝑦(𝑦 ∈ (V × V) → (𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅)) → ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅))
5243, 51sylbi 119 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ (V × V)(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅) → ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅))
5342, 52syl 14 . . . . 5 (∀𝑥 ∈ V ∀𝑥 ∈ V (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅))
5411, 53sylbir 133 . . . 4 (∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅))
55 dfss2 2997 . . . 4 (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ( I ↾ 𝐴) → 𝑦𝑅))
5654, 55sylibr 132 . . 3 (∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) → ( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅)
57 ssel 3002 . . . 4 (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 → (⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
5857alrimiv 1797 . . 3 (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 → ∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅))
5956, 58impbii 124 . 2 (∀𝑥(⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ ( I ↾ 𝐴) → ⟨𝑥, 𝑥⟩ ∈ 𝑅) ↔ ( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅)
601, 8, 593bitr2ri 207 1 (( I ↾ 𝐴) ⊆ 𝑅 ↔ ∀𝑥𝐴 𝑥𝑅𝑥)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  wal 1283   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  Vcvv 2610  wss 2982  cop 3419   class class class wbr 3805   I cid 4071   × cxp 4389  cres 4393  Rel wrel 4396
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-id 4076  df-xp 4397  df-rel 4398  df-res 4403
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