Theorem isum1p 11264

Description: The infinite sum of a converging infinite series equals the first term plus the infinite sum of the rest of it. (Contributed by NM, 2-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isum1p.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
isum1p.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
isum1p.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
isum1p.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
isum1p.6	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Assertion

Ref	Expression
isum1p	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem isum1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isum1p.1	. . 3 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		eqid 2139	. . 3 ⊢ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑀 + 1))
3		isum1p.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4		uzid 9343	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5	3, 4	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6		peano2uz 9381	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7	5, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
8	7, 1	eleqtrrdi 2233	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ 𝑍)
9		isum1p.4	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
10		isum1p.5	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
11		isum1p.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
12	1, 2, 8, 9, 10, 11	isumsplit 11263	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴))
13	3	zcnd 9177	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
14		ax-1cn 7716	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
15		pncan 7971	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
16	13, 14, 15	sylancl 409	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
17	16	oveq2d 5790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑀 + 1) − 1)) = (𝑀...𝑀))
18	17	sumeq1d 11138	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐴)
19		elfzuz 9805	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20	19, 1	eleqtrrdi 2233	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑀) → 𝑘 ∈ 𝑍)
21	20, 9	sylan2 284	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
22	21	sumeq2dv 11140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)𝐴)
23		fveq2 5421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
24	23	eleq1d 2208	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝐹‘𝑘) ∈ ℂ ↔ (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ))
25	9, 10	eqeltrd 2216	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
26	25	ralrimiva 2505	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
27	5, 1	eleqtrrdi 2233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝑍)
28	24, 26, 27	rspcdva 2794	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ)
29	23	fsum1 11184	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
30	3, 28, 29	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑀)(𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑀))
31	18, 22, 30	3eqtr2d 2178	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 = (𝐹‘𝑀))
32	31	oveq1d 5789	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...((𝑀 + 1) − 1))𝐴 + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴) = ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴))
33	12, 32	eqtrd 2172	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝑍 𝐴 = ((𝐹‘𝑀) + Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  dom cdm 4539  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7621  1c1 7624   + caddc 7626   − cmin 7936  ℤcz 9057  ℤ_≥cuz 9329  ...cfz 9793  seqcseq 10221   ⇝ cli 11050  Σcsu 11125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7714  ax-resscn 7715  ax-1cn 7716  ax-1re 7717  ax-icn 7718  ax-addcl 7719  ax-addrcl 7720  ax-mulcl 7721  ax-mulrcl 7722  ax-addcom 7723  ax-mulcom 7724  ax-addass 7725  ax-mulass 7726  ax-distr 7727  ax-i2m1 7728  ax-0lt1 7729  ax-1rid 7730  ax-0id 7731  ax-rnegex 7732  ax-precex 7733  ax-cnre 7734  ax-pre-ltirr 7735  ax-pre-ltwlin 7736  ax-pre-lttrn 7737  ax-pre-apti 7738  ax-pre-ltadd 7739  ax-pre-mulgt0 7740  ax-pre-mulext 7741  ax-arch 7742  ax-caucvg 7743

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7805  df-mnf 7806  df-xr 7807  df-ltxr 7808  df-le 7809  df-sub 7938  df-neg 7939  df-reap 8340  df-ap 8347  df-div 8436  df-inn 8724  df-2 8782  df-3 8783  df-4 8784  df-n0 8981  df-z 9058  df-uz 9330  df-q 9415  df-rp 9445  df-fz 9794  df-fzo 9923  df-seqfrec 10222  df-exp 10296  df-ihash 10525  df-cj 10617  df-re 10618  df-im 10619  df-rsqrt 10773  df-abs 10774  df-clim 11051  df-sumdc 11126

This theorem is referenced by:  isumnn0nn  11265  efsep  11400