Theorem mulid2 7764

Description: Identity law for multiplication. Note: see mulid1 7763 for commuted version. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mulid2	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 7713	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mulcom 7749	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
3	1, 2	mpan 420	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = (𝐴 · 1))
4		mulid1 7763	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
5	3, 4	eqtrd 2172	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  (class class class)co 5774  ℂcc 7618  1c1 7621   · cmul 7625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-mulcl 7718  ax-mulcom 7721  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-1rid 7727  ax-cnre 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-iota 5088  df-fv 5131  df-ov 5777

This theorem is referenced by:  mulid2i  7769  mulid2d  7784  muladd11  7895  1p1times  7896  mulm1  8162  div1  8463  recdivap  8478  divdivap2  8484  conjmulap  8489  expp1  10300  recan  10881  arisum  11267  geo2sum  11283  prodrbdclem  11340  prodmodclem2a  11345  demoivreALT  11480  gcdadd  11673  gcdid  11674