ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnfi GIF version

Theorem nnfi 6363
Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
nnfi (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enrefg 6274 . . 3 (𝐴 ∈ ω → 𝐴𝐴)
2 breq2 3795 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴𝑥𝐴𝐴))
32rspcev 2673 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
41, 3mpdan 406 . 2 (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
5 isfi 6271 . 2 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
64, 5sylibr 141 1 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1409  wrex 2324   class class class wbr 3791  ωcom 4340  cen 6249  Fincfn 6251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-br 3792  df-opab 3846  df-id 4057  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-en 6252  df-fin 6254
This theorem is referenced by:  dif1en  6367  0fin  6371  findcard2  6376  findcard2s  6377  diffisn  6380  fzfig  9369
  Copyright terms: Public domain W3C validator