Theorem pwf1oexmid 13194

Description: An exercise related to 𝑁 copies of a singleton and the power set of a singleton (where the latter can also be thought of as representing truth values). Posed as an exercise by Martin Escardo online. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
pwle2.t	⊢ 𝑇 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑁 ({𝑥} × 1o)

Assertion

Ref	Expression
pwf1oexmid	⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) → (ran 𝐺 = 𝒫 1o ↔ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem pwf1oexmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwle2.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑁 ({𝑥} × 1o)
2	1	pwle2 13193	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) → 𝑁 ⊆ 2o)
3	2	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑁 ⊆ 2o)
4		pw1dom2 13190	. . . . . 6 ⊢ 2o ≼ 𝒫 1o
5		iunxpconst 4599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝑁 ({𝑥} × 1o) = (𝑁 × 1o)
6		df1o2 6326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1o = {∅}
7	6	xpeq2i 4560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 × 1o) = (𝑁 × {∅})
8	1, 5, 7	3eqtri 2164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (𝑁 × {∅})
9		peano1 4508	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ ω
10		xpsneng 6716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝑁 × {∅}) ≈ 𝑁)
11	9, 10	mpan2 421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 × {∅}) ≈ 𝑁)
12	8, 11	eqbrtrid 3963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ω → 𝑇 ≈ 𝑁)
13	12	ad2antrr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑇 ≈ 𝑁)
14	13	ensymd 6677	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑁 ≈ 𝑇)
15		relen 6638	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≈
16		brrelex1 4578	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Rel ≈ ∧ 𝑇 ≈ 𝑁) → 𝑇 ∈ V)
17	15, 13, 16	sylancr 410	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑇 ∈ V)
18		simplr 519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o)
19		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → ran 𝐺 = 𝒫 1o)
20		dff1o5 5376	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺:𝑇–1-1-onto→𝒫 1o ↔ (𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o))
21	18, 19, 20	sylanbrc 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝐺:𝑇–1-1-onto→𝒫 1o)
22		f1oeng 6651	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝐺:𝑇–1-1-onto→𝒫 1o) → 𝑇 ≈ 𝒫 1o)
23	17, 21, 22	syl2anc 408	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑇 ≈ 𝒫 1o)
24		entr 6678	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ≈ 𝑇 ∧ 𝑇 ≈ 𝒫 1o) → 𝑁 ≈ 𝒫 1o)
25	14, 23, 24	syl2anc 408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑁 ≈ 𝒫 1o)
26	25	ensymd 6677	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝒫 1o ≈ 𝑁)
27		domentr 6685	. . . . . 6 ⊢ ((2o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝒫 1o ≈ 𝑁) → 2o ≼ 𝑁)
28	4, 26, 27	sylancr 410	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 2o ≼ 𝑁)
29		2onn 6417	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
30		nndomo 6758	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (2o ≼ 𝑁 ↔ 2o ⊆ 𝑁))
31	29, 30	mpan 420	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (2o ≼ 𝑁 ↔ 2o ⊆ 𝑁))
32	31	ad2antrr 479	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → (2o ≼ 𝑁 ↔ 2o ⊆ 𝑁))
33	28, 32	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 2o ⊆ 𝑁)
34	3, 33	eqssd 3114	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑁 = 2o)
35	26, 34	breqtrd 3954	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝒫 1o ≈ 2o)
36		exmidpw 6802	. . . 4 ⊢ (EXMID ↔ 𝒫 1o ≈ 2o)
37	35, 36	sylibr 133	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → EXMID)
38	34, 37	jca 304	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → (𝑁 = 2o ∧ EXMID))
39		simplr 519	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o)
40	12	ad2antrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → 𝑇 ≈ 𝑁)
41		simprl 520	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → 𝑁 = 2o)
42	40, 41	breqtrd 3954	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → 𝑇 ≈ 2o)
43		simprr 521	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → EXMID)
44	43, 36	sylib 121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → 𝒫 1o ≈ 2o)
45	44	ensymd 6677	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → 2o ≈ 𝒫 1o)
46		entr 6678	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ≈ 2o ∧ 2o ≈ 𝒫 1o) → 𝑇 ≈ 𝒫 1o)
47	42, 45, 46	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → 𝑇 ≈ 𝒫 1o)
48		nnfi 6766	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
49	29, 48	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → 2o ∈ Fin)
50		enfi 6767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 1o ≈ 2o → (𝒫 1o ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
51	44, 50	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → (𝒫 1o ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
52	49, 51	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → 𝒫 1o ∈ Fin)
53		f1finf1o 6835	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ≈ 𝒫 1o ∧ 𝒫 1o ∈ Fin) → (𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o ↔ 𝐺:𝑇–1-1-onto→𝒫 1o))
54	47, 52, 53	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → (𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o ↔ 𝐺:𝑇–1-1-onto→𝒫 1o))
55	39, 54	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → 𝐺:𝑇–1-1-onto→𝒫 1o)
56	55, 20	sylib 121	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → (𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o))
57	56	simprd 113	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → ran 𝐺 = 𝒫 1o)
58	38, 57	impbida 585	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) → (ran 𝐺 = 𝒫 1o ↔ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ⊆ wss 3071  ∅c0 3363  𝒫 cpw 3510  {csn 3527  ∪ ciun 3813   class class class wbr 3929  EXMIDwem 4118  ωcom 4504   × cxp 4537  ran crn 4540  Rel wrel 4544  –1-1→wf1 5120  –1-1-onto→wf1o 5122  1_oc1o 6306  2_oc2o 6307   ≈ cen 6632   ≼ cdom 6633  Fincfn 6634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-exmid 4119  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-2o 6314  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637

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