Theorem diffisn 6787

Description: Subtracting a singleton from a finite set produces a finite set. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
diffisn	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)

Proof of Theorem diffisn

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6655	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 119	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		elex2 2702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
5	4	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
6		fin0 6779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
7	6	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴))
8	5, 7	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
9	8	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → 𝐴 ≠ ∅)
10	9	neneqd 2329	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ¬ 𝐴 = ∅)
11		simplrr 525	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 ≈ 𝑛)
12		en0 6689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ≈ ∅ ↔ 𝑛 = ∅)
13	12	biimpri 132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = ∅ → 𝑛 ≈ ∅)
14	13	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝑛 ≈ ∅)
15		entr 6678	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝑛 ∧ 𝑛 ≈ ∅) → 𝐴 ≈ ∅)
16	11, 14, 15	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 ≈ ∅)
17		en0 6689	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
18	16, 17	sylib 121	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ 𝑛 = ∅) → 𝐴 = ∅)
19	10, 18	mtand 654	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ¬ 𝑛 = ∅)
20		nn0suc 4518	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝑛 = ∅ ∨ ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚))
21	20	orcomd 718	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ω → (∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚 ∨ 𝑛 = ∅))
22	21	ad2antrl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚 ∨ 𝑛 = ∅))
23	19, 22	ecased 1327	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝑛 = suc 𝑚)
24		nnfi 6766	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ω → 𝑚 ∈ Fin)
25	24	ad2antrl 481	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝑚 ∈ Fin)
26		simprl 520	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
27		simplrr 525	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
28		breq2 3933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = suc 𝑚 → (𝐴 ≈ 𝑛 ↔ 𝐴 ≈ suc 𝑚))
29	28	ad2antll 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → (𝐴 ≈ 𝑛 ↔ 𝐴 ≈ suc 𝑚))
30	27, 29	mpbid 146	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝐴 ≈ suc 𝑚)
31		simpllr 523	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → 𝐵 ∈ 𝐴)
32		dif1en 6773	. . . . 5 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ suc 𝑚 ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝑚)
33	26, 30, 31, 32	syl3anc 1216	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝑚)
34		enfii 6768	. . . 4 ⊢ ((𝑚 ∈ Fin ∧ (𝐴 ∖ {𝐵}) ≈ 𝑚) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
35	25, 33, 34	syl2anc 408	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝑛 = suc 𝑚)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
36	23, 35	rexlimddv 2554	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)
37	3, 36	rexlimddv 2554	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → (𝐴 ∖ {𝐵}) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308  ∃wrex 2417   ∖ cdif 3068  ∅c0 3363  {csn 3527   class class class wbr 3929  suc csuc 4287  ωcom 4504   ≈ cen 6632  Fincfn 6634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637

This theorem is referenced by:  diffifi  6788  zfz1isolemsplit  10581  zfz1isolem1  10583  fsumdifsnconst  11224