ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phpelm GIF version

Theorem phpelm 6358
Description: Pigeonhole Principle. A natural number is not equinumerous to an element of itself. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
phpelm ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)

Proof of Theorem phpelm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 106 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴 ∈ ω)
2 nnon 4359 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
3 onelss 4151 . . . 4 (𝐴 ∈ On → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
42, 3syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
54imp 119 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
6 simpr 107 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
7 elirr 4293 . . . . 5 ¬ 𝐵𝐵
87a1i 9 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐵𝐵)
96, 8eldifd 2955 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐵))
10 eleq1 2116 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ 𝐵 ∈ (𝐴𝐵)))
1110spcegv 2658 . . 3 (𝐵𝐴 → (𝐵 ∈ (𝐴𝐵) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)))
126, 9, 11sylc 60 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵))
13 phpm 6357 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴 ∧ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴𝐵)) → ¬ 𝐴𝐵)
141, 5, 12, 13syl3anc 1146 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wex 1397  wcel 1409  cdif 2941  wss 2944   class class class wbr 3791  Oncon0 4127  ωcom 4340  cen 6249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-br 3792  df-opab 3846  df-tr 3882  df-id 4057  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-er 6136  df-en 6252  df-dom 6253
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator