ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prdisj GIF version

Theorem prdisj 6647
Description: A Dedekind cut is disjoint. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
prdisj ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴Q) → ¬ (𝐴𝐿𝐴𝑈))

Proof of Theorem prdisj
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2116 . . . . 5 (𝑞 = 𝐴 → (𝑞Q𝐴Q))
21anbi2d 445 . . . 4 (𝑞 = 𝐴 → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑞Q) ↔ (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴Q)))
3 eleq1 2116 . . . . . 6 (𝑞 = 𝐴 → (𝑞𝐿𝐴𝐿))
4 eleq1 2116 . . . . . 6 (𝑞 = 𝐴 → (𝑞𝑈𝐴𝑈))
53, 4anbi12d 450 . . . . 5 (𝑞 = 𝐴 → ((𝑞𝐿𝑞𝑈) ↔ (𝐴𝐿𝐴𝑈)))
65notbid 602 . . . 4 (𝑞 = 𝐴 → (¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ↔ ¬ (𝐴𝐿𝐴𝑈)))
72, 6imbi12d 227 . . 3 (𝑞 = 𝐴 → (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑞Q) → ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈)) ↔ ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴Q) → ¬ (𝐴𝐿𝐴𝑈))))
8 elinp 6629 . . . . 5 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))))
9 simpr2 922 . . . . 5 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))) → ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈))
108, 9sylbi 118 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈))
1110r19.21bi 2424 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝑞Q) → ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈))
127, 11vtoclg 2630 . 2 (𝐴Q → ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴Q) → ¬ (𝐴𝐿𝐴𝑈)))
1312anabsi7 523 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴Q) → ¬ (𝐴𝐿𝐴𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  wo 639  w3a 896   = wceq 1259  wcel 1409  wral 2323  wrex 2324  wss 2944  cop 3405   class class class wbr 3791  Qcnq 6435   <Q cltq 6440  Pcnp 6446
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-id 4057  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-qs 6142  df-ni 6459  df-nqqs 6503  df-inp 6621
This theorem is referenced by:  ltpopr  6750  addcanprleml  6769  addcanprlemu  6770
  Copyright terms: Public domain W3C validator