ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prloc GIF version

Theorem prloc 6617
Description: A Dedekind cut is located. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prloc ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → (𝐴𝐿𝐵𝑈))

Proof of Theorem prloc
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinp 6600 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))))
2 simpr3 921 . . . 4 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))) → ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
31, 2sylbi 118 . . 3 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
43adantr 265 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
5 simpr 107 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
6 ltrelnq 6491 . . . . . . 7 <Q ⊆ (Q × Q)
76brel 4417 . . . . . 6 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴Q𝐵Q))
87simpld 109 . . . . 5 (𝐴 <Q 𝐵𝐴Q)
98adantl 266 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → 𝐴Q)
10 simpr 107 . . . . . . 7 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → 𝑞 = 𝐴)
1110breq1d 3799 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → (𝑞 <Q 𝑟𝐴 <Q 𝑟))
1210eleq1d 2120 . . . . . . 7 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → (𝑞𝐿𝐴𝐿))
1312orbi1d 713 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → ((𝑞𝐿𝑟𝑈) ↔ (𝐴𝐿𝑟𝑈)))
1411, 13imbi12d 227 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)) ↔ (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴𝐿𝑟𝑈))))
1514ralbidv 2341 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → (∀𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)) ↔ ∀𝑟Q (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴𝐿𝑟𝑈))))
169, 15rspcdv 2674 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → (∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)) → ∀𝑟Q (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴𝐿𝑟𝑈))))
177simprd 111 . . . . 5 (𝐴 <Q 𝐵𝐵Q)
1817adantl 266 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → 𝐵Q)
19 simpr 107 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → 𝑟 = 𝐵)
2019breq2d 3801 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → (𝐴 <Q 𝑟𝐴 <Q 𝐵))
2119eleq1d 2120 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → (𝑟𝑈𝐵𝑈))
2221orbi2d 712 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → ((𝐴𝐿𝑟𝑈) ↔ (𝐴𝐿𝐵𝑈)))
2320, 22imbi12d 227 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → ((𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴𝐿𝑟𝑈)) ↔ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴𝐿𝐵𝑈))))
2418, 23rspcdv 2674 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → (∀𝑟Q (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴𝐿𝑟𝑈)) → (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴𝐿𝐵𝑈))))
2516, 24syld 44 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → (∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)) → (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴𝐿𝐵𝑈))))
264, 5, 25mp2d 45 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → (𝐴𝐿𝐵𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  wo 637  w3a 894   = wceq 1257  wcel 1407  wral 2321  wrex 2322  wss 2942  cop 3403   class class class wbr 3789  Qcnq 6406   <Q cltq 6411  Pcnp 6417
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 552  ax-in2 553  ax-io 638  ax-5 1350  ax-7 1351  ax-gen 1352  ax-ie1 1396  ax-ie2 1397  ax-8 1409  ax-10 1410  ax-11 1411  ax-i12 1412  ax-bndl 1413  ax-4 1414  ax-13 1418  ax-14 1419  ax-17 1433  ax-i9 1437  ax-ial 1441  ax-i5r 1442  ax-ext 2036  ax-coll 3897  ax-sep 3900  ax-pow 3952  ax-pr 3969  ax-un 4195  ax-iinf 4336
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 896  df-tru 1260  df-nf 1364  df-sb 1660  df-eu 1917  df-mo 1918  df-clab 2041  df-cleq 2047  df-clel 2050  df-nfc 2181  df-ral 2326  df-rex 2327  df-reu 2328  df-rab 2330  df-v 2574  df-sbc 2785  df-csb 2878  df-dif 2945  df-un 2947  df-in 2949  df-ss 2956  df-pw 3386  df-sn 3406  df-pr 3407  df-op 3409  df-uni 3606  df-int 3641  df-iun 3684  df-br 3790  df-opab 3844  df-mpt 3845  df-id 4055  df-iom 4339  df-xp 4376  df-rel 4377  df-cnv 4378  df-co 4379  df-dm 4380  df-rn 4381  df-res 4382  df-ima 4383  df-iota 4892  df-fun 4929  df-fn 4930  df-f 4931  df-f1 4932  df-fo 4933  df-f1o 4934  df-fv 4935  df-qs 6140  df-ni 6430  df-nqqs 6474  df-ltnqqs 6479  df-inp 6592
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  6622  addnqprlemfl  6685  addnqprlemfu  6686  mullocprlem  6696  mulnqprlemfl  6701  mulnqprlemfu  6702  ltsopr  6722  ltexprlemloc  6733  addcanprleml  6740  addcanprlemu  6741  recexprlemloc  6757  cauappcvgprlemladdru  6782  cauappcvgprlemladdrl  6783  caucvgprlemladdrl  6804
  Copyright terms: Public domain W3C validator