ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prloc GIF version

Theorem prloc 6813
Description: A Dedekind cut is located. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
prloc ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → (𝐴𝐿𝐵𝑈))

Proof of Theorem prloc
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elinp 6796 . . . 4 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P ↔ (((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))))
2 simpr3 947 . . . 4 ((((𝐿Q𝑈Q) ∧ (∃𝑞Q 𝑞𝐿 ∧ ∃𝑟Q 𝑟𝑈)) ∧ ((∀𝑞Q (𝑞𝐿 ↔ ∃𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟𝑟𝐿)) ∧ ∀𝑟Q (𝑟𝑈 ↔ ∃𝑞Q (𝑞 <Q 𝑟𝑞𝑈))) ∧ ∀𝑞Q ¬ (𝑞𝐿𝑞𝑈) ∧ ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))) → ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
31, 2sylbi 119 . . 3 (⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P → ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
43adantr 270 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → ∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)))
5 simpr 108 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → 𝐴 <Q 𝐵)
6 ltrelnq 6687 . . . . . . 7 <Q ⊆ (Q × Q)
76brel 4438 . . . . . 6 (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴Q𝐵Q))
87simpld 110 . . . . 5 (𝐴 <Q 𝐵𝐴Q)
98adantl 271 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → 𝐴Q)
10 simpr 108 . . . . . . 7 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → 𝑞 = 𝐴)
1110breq1d 3815 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → (𝑞 <Q 𝑟𝐴 <Q 𝑟))
1210eleq1d 2151 . . . . . . 7 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → (𝑞𝐿𝐴𝐿))
1312orbi1d 738 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → ((𝑞𝐿𝑟𝑈) ↔ (𝐴𝐿𝑟𝑈)))
1411, 13imbi12d 232 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → ((𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)) ↔ (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴𝐿𝑟𝑈))))
1514ralbidv 2373 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑞 = 𝐴) → (∀𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)) ↔ ∀𝑟Q (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴𝐿𝑟𝑈))))
169, 15rspcdv 2713 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → (∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)) → ∀𝑟Q (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴𝐿𝑟𝑈))))
177simprd 112 . . . . 5 (𝐴 <Q 𝐵𝐵Q)
1817adantl 271 . . . 4 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → 𝐵Q)
19 simpr 108 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → 𝑟 = 𝐵)
2019breq2d 3817 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → (𝐴 <Q 𝑟𝐴 <Q 𝐵))
2119eleq1d 2151 . . . . . 6 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → (𝑟𝑈𝐵𝑈))
2221orbi2d 737 . . . . 5 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → ((𝐴𝐿𝑟𝑈) ↔ (𝐴𝐿𝐵𝑈)))
2320, 22imbi12d 232 . . . 4 (((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) ∧ 𝑟 = 𝐵) → ((𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴𝐿𝑟𝑈)) ↔ (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴𝐿𝐵𝑈))))
2418, 23rspcdv 2713 . . 3 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → (∀𝑟Q (𝐴 <Q 𝑟 → (𝐴𝐿𝑟𝑈)) → (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴𝐿𝐵𝑈))))
2516, 24syld 44 . 2 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → (∀𝑞Q𝑟Q (𝑞 <Q 𝑟 → (𝑞𝐿𝑟𝑈)) → (𝐴 <Q 𝐵 → (𝐴𝐿𝐵𝑈))))
264, 5, 25mp2d 46 1 ((⟨𝐿, 𝑈⟩ ∈ P𝐴 <Q 𝐵) → (𝐴𝐿𝐵𝑈))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  w3a 920   = wceq 1285  wcel 1434  wral 2353  wrex 2354  wss 2982  cop 3419   class class class wbr 3805  Qcnq 6602   <Q cltq 6607  Pcnp 6613
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3913  ax-sep 3916  ax-pow 3968  ax-pr 3992  ax-un 4216  ax-iinf 4357
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2612  df-sbc 2825  df-csb 2918  df-dif 2984  df-un 2986  df-in 2988  df-ss 2995  df-pw 3402  df-sn 3422  df-pr 3423  df-op 3425  df-uni 3622  df-int 3657  df-iun 3700  df-br 3806  df-opab 3860  df-mpt 3861  df-id 4076  df-iom 4360  df-xp 4397  df-rel 4398  df-cnv 4399  df-co 4400  df-dm 4401  df-rn 4402  df-res 4403  df-ima 4404  df-iota 4917  df-fun 4954  df-fn 4955  df-f 4956  df-f1 4957  df-fo 4958  df-f1o 4959  df-fv 4960  df-qs 6200  df-ni 6626  df-nqqs 6670  df-ltnqqs 6675  df-inp 6788
This theorem is referenced by:  prarloclem3step  6818  addnqprlemfl  6881  addnqprlemfu  6882  mullocprlem  6892  mulnqprlemfl  6897  mulnqprlemfu  6898  ltsopr  6918  ltexprlemloc  6929  addcanprleml  6936  addcanprlemu  6937  recexprlemloc  6953  cauappcvgprlemladdru  6978  cauappcvgprlemladdrl  6979  caucvgprlemladdrl  7000
  Copyright terms: Public domain W3C validator