ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sotri GIF version

Theorem sotri 4747
Description: A strict order relation is a transitive relation. (Contributed by NM, 10-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
soi.1 𝑅 Or 𝑆
soi.2 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)
Assertion
Ref Expression
sotri ((𝐴𝑅𝐵𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem sotri
StepHypRef Expression
1 soi.2 . . . . 5 𝑅 ⊆ (𝑆 × 𝑆)
21brel 4419 . . . 4 (𝐴𝑅𝐵 → (𝐴𝑆𝐵𝑆))
32simpld 109 . . 3 (𝐴𝑅𝐵𝐴𝑆)
41brel 4419 . . 3 (𝐵𝑅𝐶 → (𝐵𝑆𝐶𝑆))
53, 4anim12i 325 . 2 ((𝐴𝑅𝐵𝐵𝑅𝐶) → (𝐴𝑆 ∧ (𝐵𝑆𝐶𝑆)))
6 soi.1 . . . 4 𝑅 Or 𝑆
7 sotr 4082 . . . 4 ((𝑅 Or 𝑆 ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶𝑆)) → ((𝐴𝑅𝐵𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
86, 7mpan 408 . . 3 ((𝐴𝑆𝐵𝑆𝐶𝑆) → ((𝐴𝑅𝐵𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
983expb 1116 . 2 ((𝐴𝑆 ∧ (𝐵𝑆𝐶𝑆)) → ((𝐴𝑅𝐵𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶))
105, 9mpcom 36 1 ((𝐴𝑅𝐵𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101  w3a 896  wcel 1409  wss 2944   class class class wbr 3791   Or wor 4059   × cxp 4370
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-sep 3902  ax-pow 3954  ax-pr 3971
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-3an 898  df-tru 1262  df-nf 1366  df-sb 1662  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ral 2328  df-rex 2329  df-v 2576  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-br 3792  df-opab 3846  df-po 4060  df-iso 4061  df-xp 4378
This theorem is referenced by:  son2lpi  4748  ltsonq  6553  lt2addnq  6559  lt2mulnq  6560  ltbtwnnqq  6570  prarloclemarch2  6574  genplt2i  6665  addlocprlemgt  6689  nqprloc  6700  prmuloclemcalc  6720  ltsopr  6751  ltexprlemopl  6756  ltexprlemopu  6758  ltexprlemru  6767  prplnqu  6775  recexprlemlol  6781  recexprlemupu  6783  recexprlemdisj  6785  recexprlemss1l  6790  recexprlemss1u  6791  cauappcvgprlemopl  6801  cauappcvgprlemlol  6802  cauappcvgprlemupu  6804  cauappcvgprlemladdfu  6809  caucvgprlemk  6820  caucvgprlemnkj  6821  caucvgprlemnbj  6822  caucvgprlemm  6823  caucvgprlemopl  6824  caucvgprlemlol  6825  caucvgprlemupu  6827  caucvgprlemloc  6830  caucvgprlemladdfu  6832  caucvgprprlemk  6838  caucvgprprlemloccalc  6839  caucvgprprlemnkltj  6844  caucvgprprlemnkeqj  6845  caucvgprprlemnjltk  6846  caucvgprprlemnbj  6848  caucvgprprlemml  6849  caucvgprprlemopl  6852  caucvgprprlemlol  6853  caucvgprprlemupu  6855  lttrsr  6904  addgt0sr  6917  archsr  6923  caucvgsrlemcl  6930  caucvgsrlemfv  6932  axpre-lttrn  7015
  Copyright terms: Public domain W3C validator