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Theorem ltsonq 6553
Description: 'Less than' is a strict ordering on positive fractions. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2013.)
Assertion
Ref Expression
ltsonq <Q Or Q

Proof of Theorem ltsonq
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6503 . . . . . 6 Q = ((N × N) / ~Q )
2 id 19 . . . . . . . 8 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥 → [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥)
32, 2breq12d 3804 . . . . . . 7 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q𝑥 <Q 𝑥))
43notbid 602 . . . . . 6 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝑥 → (¬ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ ¬ 𝑥 <Q 𝑥))
5 ltsopi 6475 . . . . . . . 8 <N Or N
6 ltrelpi 6479 . . . . . . . 8 <N ⊆ (N × N)
75, 6soirri 4746 . . . . . . 7 ¬ (𝑤 ·N 𝑧) <N (𝑤 ·N 𝑧)
8 ordpipqqs 6529 . . . . . . . . 9 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑤) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
98anidms 383 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑤) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
10 mulcompig 6486 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 ·N 𝑤) = (𝑤 ·N 𝑧))
1110breq1d 3801 . . . . . . . 8 ((𝑧N𝑤N) → ((𝑧 ·N 𝑤) <N (𝑤 ·N 𝑧) ↔ (𝑤 ·N 𝑧) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
129, 11bitrd 181 . . . . . . 7 ((𝑧N𝑤N) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑤 ·N 𝑧) <N (𝑤 ·N 𝑧)))
137, 12mtbiri 610 . . . . . 6 ((𝑧N𝑤N) → ¬ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q )
141, 4, 13ecoptocl 6223 . . . . 5 (𝑥Q → ¬ 𝑥 <Q 𝑥)
1514adantl 266 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥Q) → ¬ 𝑥 <Q 𝑥)
16 breq1 3794 . . . . . . . 8 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ))
1716anbi1d 446 . . . . . . 7 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ (𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
18 breq1 3794 . . . . . . 7 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ))
1917, 18imbi12d 227 . . . . . 6 ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q = 𝑥 → ((([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ ((𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
20 breq2 3795 . . . . . . . 8 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → (𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q𝑥 <Q 𝑦))
21 breq1 3794 . . . . . . . 8 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ))
2220, 21anbi12d 450 . . . . . . 7 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → ((𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ (𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
2322imbi1d 224 . . . . . 6 ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q = 𝑦 → (((𝑥 <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ ((𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )))
24 breq2 3795 . . . . . . . 8 ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → (𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q𝑦 <Q 𝑧))
2524anbi2d 445 . . . . . . 7 ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → ((𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ (𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q 𝑧)))
26 breq2 3795 . . . . . . 7 ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → (𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q𝑥 <Q 𝑧))
2725, 26imbi12d 227 . . . . . 6 ([⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q = 𝑧 → (((𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → 𝑥 <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) ↔ ((𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧)))
28 ordpipqqs 6529 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐)))
29283adant3 935 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐)))
30 simp1l 939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → 𝑎N)
31 simp2r 942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → 𝑑N)
32 mulclpi 6483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎N𝑑N) → (𝑎 ·N 𝑑) ∈ N)
3330, 31, 32syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑎 ·N 𝑑) ∈ N)
34 simp1r 940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → 𝑏N)
35 simp2l 941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → 𝑐N)
36 mulclpi 6483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏N𝑐N) → (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N)
3734, 35, 36syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N)
38 simp3r 944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → 𝑓N)
39 mulclpi 6483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐N𝑓N) → (𝑐 ·N 𝑓) ∈ N)
4035, 38, 39syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑐 ·N 𝑓) ∈ N)
41 ltmpig 6494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ·N 𝑑) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N ∧ (𝑐 ·N 𝑓) ∈ N) → ((𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐))))
4233, 37, 40, 41syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑎 ·N 𝑑) <N (𝑏 ·N 𝑐) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐))))
4329, 42bitrd 181 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐))))
4443biimpa 284 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)))
4544adantrr 456 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)))
46 mulcompig 6486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑐 ·N 𝑓) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
4740, 37, 46syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
4847adantr 265 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑏 ·N 𝑐)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
4945, 48breqtrd 3815 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
50 ordpipqqs 6529 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒)))
51503adant1 933 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒)))
52 simp3l 943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → 𝑒N)
53 mulclpi 6483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑N𝑒N) → (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N)
5431, 52, 53syl2anc 397 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N)
55 ltmpig 6494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑐 ·N 𝑓) ∈ N ∧ (𝑑 ·N 𝑒) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑐) ∈ N) → ((𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒) ↔ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
5640, 54, 37, 55syl3anc 1146 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑐 ·N 𝑓) <N (𝑑 ·N 𝑒) ↔ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
5751, 56bitrd 181 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ([⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
5857biimpa 284 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
5958adantrl 455 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
605, 6sotri 4747 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) ∧ ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
6149, 59, 60syl2anc 397 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
62 mulcompig 6486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥N𝑦N) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
6362adantl 266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ (𝑥N𝑦N)) → (𝑥 ·N 𝑦) = (𝑦 ·N 𝑥))
64 mulasspig 6487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥N𝑦N𝑧N) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
6564adantl 266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ (𝑥N𝑦N𝑧N)) → ((𝑥 ·N 𝑦) ·N 𝑧) = (𝑥 ·N (𝑦 ·N 𝑧)))
66 mulclpi 6483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥N𝑦N) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
6766adantl 266 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ (𝑥N𝑦N)) → (𝑥 ·N 𝑦) ∈ N)
6835, 31, 30, 63, 65, 38, 67caov411d 5713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) = ((𝑎 ·N 𝑑) ·N (𝑐 ·N 𝑓)))
6963, 33, 40caovcomd 5684 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑎 ·N 𝑑) ·N (𝑐 ·N 𝑓)) = ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)))
7068, 69eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) = ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)))
7135, 31, 34, 63, 65, 52, 67caov4d 5712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) = ((𝑐 ·N 𝑏) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
7263, 35, 34caovcomd 5684 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑐 ·N 𝑏) = (𝑏 ·N 𝑐))
7372oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑐 ·N 𝑏) ·N (𝑑 ·N 𝑒)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
7471, 73eqtrd 2088 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) = ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒)))
7570, 74breq12d 3804 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
7675adantr 265 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → (((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)) ↔ ((𝑐 ·N 𝑓) ·N (𝑎 ·N 𝑑)) <N ((𝑏 ·N 𝑐) ·N (𝑑 ·N 𝑒))))
7761, 76mpbird 160 . . . . . . . . 9 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒)))
78 mulclpi 6483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎N𝑓N) → (𝑎 ·N 𝑓) ∈ N)
7930, 38, 78syl2anc 397 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑎 ·N 𝑓) ∈ N)
80 mulclpi 6483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏N𝑒N) → (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N)
8134, 52, 80syl2anc 397 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N)
82 mulclpi 6483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑐N𝑑N) → (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N)
8335, 31, 82syl2anc 397 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N)
84 ltmpig 6494 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ·N 𝑓) ∈ N ∧ (𝑏 ·N 𝑒) ∈ N ∧ (𝑐 ·N 𝑑) ∈ N) → ((𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒))))
8579, 81, 83, 84syl3anc 1146 . . . . . . . . . 10 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ((𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒))))
8685adantr 265 . . . . . . . . 9 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ((𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒) ↔ ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑎 ·N 𝑓)) <N ((𝑐 ·N 𝑑) ·N (𝑏 ·N 𝑒))))
8777, 86mpbird 160 . . . . . . . 8 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒))
88 ordpipqqs 6529 . . . . . . . . . 10 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒)))
89883adant2 934 . . . . . . . . 9 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒)))
9089adantr 265 . . . . . . . 8 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ↔ (𝑎 ·N 𝑓) <N (𝑏 ·N 𝑒)))
9187, 90mpbird 160 . . . . . . 7 ((((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) ∧ ([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q )
9291ex 112 . . . . . 6 (((𝑎N𝑏N) ∧ (𝑐N𝑑N) ∧ (𝑒N𝑓N)) → (([⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q ∧ [⟨𝑐, 𝑑⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ) → [⟨𝑎, 𝑏⟩] ~Q <Q [⟨𝑒, 𝑓⟩] ~Q ))
931, 19, 23, 27, 923ecoptocl 6225 . . . . 5 ((𝑥Q𝑦Q𝑧Q) → ((𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧))
9493adantl 266 . . . 4 ((⊤ ∧ (𝑥Q𝑦Q𝑧Q)) → ((𝑥 <Q 𝑦𝑦 <Q 𝑧) → 𝑥 <Q 𝑧))
9515, 94ispod 4068 . . 3 (⊤ → <Q Po Q)
96 nqtri3or 6551 . . . 4 ((𝑥Q𝑦Q) → (𝑥 <Q 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 <Q 𝑥))
9796adantl 266 . . 3 ((⊤ ∧ (𝑥Q𝑦Q)) → (𝑥 <Q 𝑦𝑥 = 𝑦𝑦 <Q 𝑥))
9895, 97issod 4083 . 2 (⊤ → <Q Or Q)
9998trud 1268 1 <Q Or Q
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 101  wb 102  w3o 895  w3a 896   = wceq 1259  wtru 1260  wcel 1409  cop 3405   class class class wbr 3791   Or wor 4059  (class class class)co 5539  [cec 6134  Ncnpi 6427   ·N cmi 6429   <N clti 6430   ~Q ceq 6434  Qcnq 6435   <Q cltq 6440
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-mi 6461  df-lti 6462  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-ltnqqs 6508
This theorem is referenced by:  nqtric  6554  lt2addnq  6559  lt2mulnq  6560  ltbtwnnqq  6570  prarloclemarch2  6574  genplt2i  6665  genpdisj  6678  addlocprlemgt  6689  nqprdisj  6699  nqprloc  6700  addnqprlemfl  6714  addnqprlemfu  6715  prmuloclemcalc  6720  mulnqprlemfl  6730  mulnqprlemfu  6731  distrlem4prl  6739  distrlem4pru  6740  ltsopr  6751  ltexprlemopl  6756  ltexprlemopu  6758  ltexprlemdisj  6761  ltexprlemru  6767  recexprlemlol  6781  recexprlemupu  6783  recexprlemdisj  6785  recexprlemss1l  6790  recexprlemss1u  6791  cauappcvgprlemopl  6801  cauappcvgprlemlol  6802  cauappcvgprlemupu  6804  cauappcvgprlemdisj  6806  cauappcvgprlemloc  6807  cauappcvgprlemladdfu  6809  cauappcvgprlemladdru  6811  cauappcvgprlemladdrl  6812  caucvgprlemk  6820  caucvgprlemnkj  6821  caucvgprlemnbj  6822  caucvgprlemm  6823  caucvgprlemopl  6824  caucvgprlemlol  6825  caucvgprlemupu  6827  caucvgprlemloc  6830  caucvgprlemladdfu  6832  caucvgprprlemloccalc  6839  caucvgprprlemml  6849  caucvgprprlemopl  6852
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