ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemex GIF version

Theorem resqrexlemex 9851
Description: Lemma for resqrex 9852. Existence of square root given a sequence which converges to the square root. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 27-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
resqrexlemex.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
resqrexlemex.agt0 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
resqrexlemex (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑦,𝐹,𝑧   𝜑,𝑧,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem resqrexlemex
Dummy variables 𝑟 𝑛 𝑒 𝑎 𝑏 𝑐 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resqrexlemex.seq . . 3 𝐹 = seq1((𝑦 ∈ ℝ+, 𝑧 ∈ ℝ+ ↦ ((𝑦 + (𝐴 / 𝑦)) / 2)), (ℕ × {(1 + 𝐴)}), ℝ+)
2 resqrexlemex.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 resqrexlemex.agt0 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
41, 2, 3resqrexlemcvg 9845 . 2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))
5 simprl 491 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → 𝑟 ∈ ℝ)
62adantr 265 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → 𝐴 ∈ ℝ)
73adantr 265 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → 0 ≤ 𝐴)
8 simprr 492 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))
9 fveq2 5205 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑐 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑐))
109breq1d 3801 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑐 → ((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒)))
119oveq1d 5554 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑐 → ((𝐹𝑘) + 𝑒) = ((𝐹𝑐) + 𝑒))
1211breq2d 3803 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑐 → (𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒) ↔ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)))
1310, 12anbi12d 450 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑐 → (((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒))))
1413cbvralv 2550 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)))
1514rexbii 2348 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)))
16 fveq2 5205 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑏 → (ℤ𝑛) = (ℤ𝑏))
1716raleqdv 2528 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑏 → (∀𝑐 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)) ↔ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒))))
1817cbvrexv 2551 . . . . . . . 8 (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)))
1915, 18bitri 177 . . . . . . 7 (∃𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)))
2019ralbii 2347 . . . . . 6 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)))
21 oveq2 5547 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑎 → (𝑟 + 𝑒) = (𝑟 + 𝑎))
2221breq2d 3803 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ↔ (𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑎)))
23 oveq2 5547 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = 𝑎 → ((𝐹𝑐) + 𝑒) = ((𝐹𝑐) + 𝑎))
2423breq2d 3803 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑎 → (𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒) ↔ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
2522, 24anbi12d 450 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑎 → (((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)) ↔ ((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑎))))
2625rexralbidv 2367 . . . . . . 7 (𝑒 = 𝑎 → (∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑎))))
2726cbvralv 2550 . . . . . 6 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
2820, 27bitri 177 . . . . 5 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
298, 28sylib 131 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℕ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝐹𝑐) < (𝑟 + 𝑎) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑐) + 𝑎)))
301, 6, 7, 5, 29resqrexlemgt0 9846 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → 0 ≤ 𝑟)
311, 6, 7, 5, 8resqrexlemsqa 9850 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → (𝑟↑2) = 𝐴)
32 breq2 3795 . . . . 5 (𝑥 = 𝑟 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑟))
33 oveq1 5546 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑟 → (𝑥↑2) = (𝑟↑2))
3433eqeq1d 2064 . . . . 5 (𝑥 = 𝑟 → ((𝑥↑2) = 𝐴 ↔ (𝑟↑2) = 𝐴))
3532, 34anbi12d 450 . . . 4 (𝑥 = 𝑟 → ((0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴) ↔ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟↑2) = 𝐴)))
3635rspcev 2673 . . 3 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ (0 ≤ 𝑟 ∧ (𝑟↑2) = 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
375, 30, 31, 36syl12anc 1144 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑟 ∈ ℝ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑛)((𝐹𝑘) < (𝑟 + 𝑒) ∧ 𝑟 < ((𝐹𝑘) + 𝑒)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
384, 37rexlimddv 2454 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ (0 ≤ 𝑥 ∧ (𝑥↑2) = 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 101   = wceq 1259  wcel 1409  wral 2323  wrex 2324  {csn 3402   class class class wbr 3791   × cxp 4370  cfv 4929  (class class class)co 5539  cmpt2 5541  cr 6945  0cc0 6946  1c1 6947   + caddc 6949   < clt 7118  cle 7119   / cdiv 7724  cn 7989  2c2 8039  cuz 8568  +crp 8680  seqcseq 9374  cexp 9418
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 103  ax-ia2 104  ax-ia3 105  ax-in1 554  ax-in2 555  ax-io 640  ax-5 1352  ax-7 1353  ax-gen 1354  ax-ie1 1398  ax-ie2 1399  ax-8 1411  ax-10 1412  ax-11 1413  ax-i12 1414  ax-bndl 1415  ax-4 1416  ax-13 1420  ax-14 1421  ax-17 1435  ax-i9 1439  ax-ial 1443  ax-i5r 1444  ax-ext 2038  ax-coll 3899  ax-sep 3902  ax-nul 3910  ax-pow 3954  ax-pr 3971  ax-un 4197  ax-setind 4289  ax-iinf 4338  ax-cnex 7032  ax-resscn 7033  ax-1cn 7034  ax-1re 7035  ax-icn 7036  ax-addcl 7037  ax-addrcl 7038  ax-mulcl 7039  ax-mulrcl 7040  ax-addcom 7041  ax-mulcom 7042  ax-addass 7043  ax-mulass 7044  ax-distr 7045  ax-i2m1 7046  ax-1rid 7048  ax-0id 7049  ax-rnegex 7050  ax-precex 7051  ax-cnre 7052  ax-pre-ltirr 7053  ax-pre-ltwlin 7054  ax-pre-lttrn 7055  ax-pre-apti 7056  ax-pre-ltadd 7057  ax-pre-mulgt0 7058  ax-pre-mulext 7059  ax-arch 7060  ax-caucvg 7061
This theorem depends on definitions:  df-bi 114  df-dc 754  df-3or 897  df-3an 898  df-tru 1262  df-fal 1265  df-nf 1366  df-sb 1662  df-eu 1919  df-mo 1920  df-clab 2043  df-cleq 2049  df-clel 2052  df-nfc 2183  df-ne 2221  df-nel 2315  df-ral 2328  df-rex 2329  df-reu 2330  df-rmo 2331  df-rab 2332  df-v 2576  df-sbc 2787  df-csb 2880  df-dif 2947  df-un 2949  df-in 2951  df-ss 2958  df-nul 3252  df-if 3359  df-pw 3388  df-sn 3408  df-pr 3409  df-op 3411  df-uni 3608  df-int 3643  df-iun 3686  df-br 3792  df-opab 3846  df-mpt 3847  df-tr 3882  df-eprel 4053  df-id 4057  df-po 4060  df-iso 4061  df-iord 4130  df-on 4132  df-suc 4135  df-iom 4341  df-xp 4378  df-rel 4379  df-cnv 4380  df-co 4381  df-dm 4382  df-rn 4383  df-res 4384  df-ima 4385  df-iota 4894  df-fun 4931  df-fn 4932  df-f 4933  df-f1 4934  df-fo 4935  df-f1o 4936  df-fv 4937  df-riota 5495  df-ov 5542  df-oprab 5543  df-mpt2 5544  df-1st 5794  df-2nd 5795  df-recs 5950  df-irdg 5987  df-frec 6008  df-1o 6031  df-2o 6032  df-oadd 6035  df-omul 6036  df-er 6136  df-ec 6138  df-qs 6142  df-ni 6459  df-pli 6460  df-mi 6461  df-lti 6462  df-plpq 6499  df-mpq 6500  df-enq 6502  df-nqqs 6503  df-plqqs 6504  df-mqqs 6505  df-1nqqs 6506  df-rq 6507  df-ltnqqs 6508  df-enq0 6579  df-nq0 6580  df-0nq0 6581  df-plq0 6582  df-mq0 6583  df-inp 6621  df-i1p 6622  df-iplp 6623  df-iltp 6625  df-enr 6868  df-nr 6869  df-ltr 6872  df-0r 6873  df-1r 6874  df-0 6953  df-1 6954  df-r 6956  df-lt 6959  df-pnf 7120  df-mnf 7121  df-xr 7122  df-ltxr 7123  df-le 7124  df-sub 7246  df-neg 7247  df-reap 7639  df-ap 7646  df-div 7725  df-inn 7990  df-2 8048  df-3 8049  df-4 8050  df-n0 8239  df-z 8302  df-uz 8569  df-rp 8681  df-iseq 9375  df-iexp 9419
This theorem is referenced by:  resqrex  9852
  Copyright terms: Public domain W3C validator