Theorem trilpolemcl 13230

Description: Lemma for trilpo 13236. The sum exists. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
trilpolemgt1.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
trilpolemgt1.a	⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))

Assertion

Ref	Expression
trilpolemcl	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝜑,𝑖

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem trilpolemcl

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		trilpolemgt1.a	. 2 ⊢ 𝐴 = Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖))
2		nnuz 9361	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		1zzd 9081	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4		eqid 2139	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))
5		oveq2 5782	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (2↑𝑛) = (2↑𝑖))
6	5	oveq2d 5790	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (1 / (2↑𝑛)) = (1 / (2↑𝑖)))
7		fveq2 5421	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → (𝐹‘𝑛) = (𝐹‘𝑖))
8	6, 7	oveq12d 5792	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑖 → ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)))
9		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
10		2rp 9446	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
11	10	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℝ+)
12		nnz 9073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → 𝑖 ∈ ℤ)
13	12	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℤ)
14	11, 13	rpexpcld 10448	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (2↑𝑖) ∈ ℝ+)
15	14	rprecred 9495	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1 / (2↑𝑖)) ∈ ℝ)
16		0re 7766	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
17		eleq1 2202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑖) = 0 → ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ↔ 0 ∈ ℝ))
18	16, 17	mpbiri 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑖) = 0 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
19	18	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑖) = 0 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ))
20		1re 7765	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
21		eleq1 2202	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑖) = 1 → ((𝐹‘𝑖) ∈ ℝ ↔ 1 ∈ ℝ))
22	20, 21	mpbiri 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑖) = 1 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
23	22	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑖) = 1 → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ))
24		trilpolemgt1.f	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℕ⟶{0, 1})
25	24	ffvelrnda 5555	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) ∈ {0, 1})
26		elpri 3550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑖) ∈ {0, 1} → ((𝐹‘𝑖) = 0 ∨ (𝐹‘𝑖) = 1))
27	25, 26	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝐹‘𝑖) = 0 ∨ (𝐹‘𝑖) = 1))
28	19, 23, 27	mpjaod 707	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑖) ∈ ℝ)
29	15, 28	remulcld 7796	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
30	4, 8, 9, 29	fvmptd3 5514	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))‘𝑖) = ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)))
31	24, 4	trilpolemclim 13229	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((1 / (2↑𝑛)) · (𝐹‘𝑛)))) ∈ dom ⇝ )
32	2, 3, 30, 29, 31	isumrecl 11198	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑖 ∈ ℕ ((1 / (2↑𝑖)) · (𝐹‘𝑖)) ∈ ℝ)
33	1, 32	eqeltrid 2226	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  {cpr 3528   ↦ cmpt 3989  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℝcr 7619  0cc0 7620  1c1 7621   · cmul 7625   / cdiv 8432  ℕcn 8720  2c2 8771  ℤcz 9054  ℝ⁺crp 9441  ↑cexp 10292  Σcsu 11122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-ico 9677  df-fz 9791  df-fzo 9920  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-ihash 10522  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-clim 11048  df-sumdc 11123

This theorem is referenced by:  trilpolemgt1  13232  trilpolemeq1  13233  trilpolemlt1  13234  trilpo  13236