MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ccatfn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ccatfn 13069
Description: The concatenation operator is a two-argument function. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
ccatfn ++ Fn (V × V)

Proof of Theorem ccatfn
Dummy variables 𝑡 𝑠 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-concat 13015 . 2 ++ = (𝑠 ∈ V, 𝑡 ∈ V ↦ (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑠) + (#‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑠)), (𝑠𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (#‘𝑠))))))
2 ovex 6454 . . 3 (0..^((#‘𝑠) + (#‘𝑡))) ∈ V
32mptex 6267 . 2 (𝑥 ∈ (0..^((#‘𝑠) + (#‘𝑡))) ↦ if(𝑥 ∈ (0..^(#‘𝑠)), (𝑠𝑥), (𝑡‘(𝑥 − (#‘𝑠))))) ∈ V
41, 3fnmpt2i 7003 1 ++ Fn (V × V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1938  Vcvv 3077  ifcif 3939  cmpt 4541   × cxp 4930   Fn wfn 5684  cfv 5689  (class class class)co 6426  0cc0 9691   + caddc 9694  cmin 10017  ..^cfzo 12202  #chash 12847   ++ cconcat 13007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-concat 13015
This theorem is referenced by:  frmdplusg  17106
  Copyright terms: Public domain W3C validator